We hebben er als deelnemers even op moeten wachten, het oorspronkelijke plan was in het jaar 2020, maar afgelopen 7 juni was het dan toch zo ver: Craig Barton was in Nederlands voor het geven van een workshop.
Voor wie Craig Barton niet kent: Craig heeft inmiddels twee boeken geschreven How I wish I’d taught maths en Reflect, Expect, Check, Explain. De eerste is vertaald naar het Nederlands door René Kneyber en dat boek wordt inmiddels ook veel gebruik in docentopleidingen. Als er in Nederlands over het tweede boek van Craig gesproken wordt dan wordt vaak deel 2 van de vertaling van het eerste boek van hem bedoeld. Deze is namelijk in twee delen gepubliceerd (en inmiddels ook als één boek te verkrijgen). Naast de twee genoemde boeken heeft Craig ook een aantal websites (diagnostic questions, variation theory, SSDD problems, Maths Venns) in beheer en heeft hij zowat iedereen die iets aan onderwijsonderzoek gedaan heeft in zijn podcast gehad.
De workshop van 7 juni heeft als titel meegekregen: Explanations, modelling and Worked Examples.
Dat Craig veel reflecteert en dat ook belangrijk vindt, weten lezers van zijn 2e boek inmiddels vrij goed. Hij start dan ook met de slide:
Kortom: neem niet alles klakkeloos over maar probeer steeds de vertaling te maken naar jouw eigen situaties en maak het zo concreet mogelijk.
Voorkennis
We worden gelijk aan de slag gezet om een onderwerp te kiezen die we binnenkort in de les gaan introduceren. Vervolgens worden we uitgedaagd om alle benodigde voorkennis die een leerling daarvoor moet hebben op te schrijven en uit te wisselen met de collega naast ons.
Als je daar goed over nadenkt dan is dat vaak heel veel. Zo laat hij zien welke voorkennis relevant is voor het leren bereken van de oppervlakte van een cirkel:
Het belang van de voorkennis is tweeledig. Nieuwe informatie sla je op door het te koppelen aan bestaande informatie. Voorkennis activeren zorgt er voor dat er voldoende haakjes ontstaan waar de leerling wat gaat komen aan kan koppelen / ophangen. Een tweede functie zit in de (ongewenste) belasting van het werkgeheugen. Als delen van de voorkennis nog niet goed in het systeem of geheugen van de leerling zit, dan levert dat een extra, en op dat moment ongewenste, belasting op van het werkgeheugen. Omdat het werkgeheugen beperkt in capaciteit is, blijft er minder ruimte over voor het leren van de nieuwe kennis of vaardigheid. Daar voeg ik dan zelf nog aan toe dat dit ook iets doet met de modus (leerstand) van de leerling: het nieuwe wordt onnodig als moeilijk bestempeld en de leerling haakt al heel snel weer af. Succes op vereiste voorkennis creëren geeft de leerling ook weer wat zelfvertrouwen voor de volgende stap.
Het is natuurlijk niet te doen om alle voorkennis te controleren. De tip van Craig is om de voorkennis te prioriteren en alleen te kiezen voor de essentiële voorkennis, zonder welke de leerling echt niet verder zou kunnen nu. Alleen die delen van de voorkennis controleren je actief in je les. Hier zit de kunst van het weglaten in en leun je op de ervaringen die je hebt: alles is belangrijk, maar waar zitten de struikelblokken?
Voorkennis activeren moet snel kunnen, iedereen moet reageren en je moet voorbereiden hoe je wilt reageren op wat je gaat waarnemen: voorbeelden te geven, leerlingen met elkaar laten uitwisselen en indien nodig kun je ook iets opnieuw uitleggen.
Beslissingen nemen
Nu weet ik niet precies wat de brug naar dit onderwerp was, maar we hebben stilgestaan bij het nemen van beslissingen. Iets wat wij als experts vaak onbewust en automatisch doen, maar wat niet in de werkwijze of systeem van leerlingen vanzelf of bewust gebeurt. Daarom de tip: onderwijs het nemen van beslissingen apart. Beslissen of je antwoord compleet is, beslissen of de breuk volledig vereenvoudigd is, beslissen of iets een vergelijking is, beslissen of je moet optellen of aftrekken bij een stelsel van vergelijkingen: wij als experts denken daar niet meer over na: de vloek van kennis komt voorbij!
Het onderwijzen van het nemen van beslissingen bestaat uit twee stappen volgens Craig: het identificeren van te nemen beslissingen en het nemen van de beslissing zelf.
We passen dit toe op het onderwerp dat we eerder zelf hebben gekozen aan het begin van de workshop (dit eigen onderwerp komt steeds terug, zodat we wat Craig ons laat zien vertelt, steeds actief verwerken en vertalen naar onze eigen praktijk). Ik had gekozen:
Los op: -8a²+2a = 4a
Wat een leerling hier moet beslissen is:
- Dit is een vergelijking
- Het is een kwadratische vergelijking
- Het is een tweeterm
- Een tweeterm ontbind je met enkele haakjes
- Ik moet eerst op 0 herleiden
Kijkend naar de eerstgenoemde beslissing, voor veel leerlingen gelijk een lastige: wat is een vergelijking en hoe herken ik die?
Is 2 + 3 = 5 een vergelijking?
En 2a + 3 = 5?
Of 5 = 2a + 3
En is de vergelijking een kwadratische vergelijking?
Bijvoorbeeld 2² + a = 7
En 2 + a² = 7
En deze 2a + a² = a² + 7
Bij het identificeren is het werken met voorbeelden en non-voorbeelden heel krachtig. Ook het opzoeken van de grensgevallen (boundary examples) draagt bij aan een sterk conceptueel begrip. Door steeds een kleine verandering toe te passen kunnen leerlingen focussen op de specifieke kenmerken die jij steeds aan geeft. Daar zit een kern van de variatietheorie achter:
Voorbeelden kiezen (voorkennis en nieuwe kennis)
Het kiezen van goede voorbeelden vraagt een gedegen voorbereiding, want welke (non) voorbeelden en grensgevallen ga je kiezen, waar wil je dat ze over nadenken, waar zitten de misvattingen? De voorbeelden mogen niet te makkelijk, maar ook zeker niet te moeilijk zijn: de eerste ervaring moet positief zijn en de voorbeelden moeten tot denken aanzetten. De voorbeelden moeten ook niet leiden tot verkeerde generalisaties waarbij de leerling met een verkeerde aanpak of foute kennis toch tot het juiste antwoord komen.
Slechte voorbeelden daarvan zijn:
- 2²
- 10% van 70
- Bij een rechthoek met zijden 3 en 6 de oppervlakte vragen
- Het gemiddelde vragen van 5 6 8 9 12
- De breuk 16/64 vereenvoudigen
Zie het einde van dit blog om te zien waarom deze voorbeelden niet goed zijn.
Verdere tips bij het kiezen van voorbeelden zijn het voorkomen van terugkerende getallen of elementen in je voorbeelden en niet te veel tegelijk in één voorbeeld proppen: maak een keuze, breng focus aan. Gebruik een aantal gerelateerde voorbeelden (doel: verbindingen leggen) en als je rijtjes maakt met steeds een klein verschil, reset dan na een aantal voorbeelden; begin een nieuw rijtje.
Self explanation – uitleggen aan jezelf
We gaan verder met de leerstrategie: uitleggen aan jezelf.
Uit onderzoek blijkt dat de best presterende leerlingen (ongeveer 20% van de leerlingen) dit vanzelf doen. Leerlingen die dit doen kunnen makkelijker problemen oplossen. Gelukkig is dit een vaardigheid of leerstrategie die aangeleerd kan worden.
Luistertips over dit onderwerp zijn te horen bij concurrent / collega podcaster Ollie Lovell in zijn ERRR podcast #044 met Alexander Renkl en podcast #060 met Anita Archer.
Het aanleren van deze strategie kun je ondersteunen door op bepaalde momenten vragen te stellen die het denken richten. Zoals: Wat gebeurt er nu? Wat heb ik net gedaan? Wat denk je dat er nu volgt? Klopte je verwachting, wat was er anders en waarom? Het tweede boek van Craig heet niet voor niets Reflect, Expect, Check, Explain bedenk ik me nu. Door met behulp van deze vragen de leerling te laten nadenken gaat de leerling verbindingen leggen tussen het specifieke voorbeeld en de generieke regel. De prompts (aanwijzingen en vragen) die je geeft zijn generiek van aard (dus niet specifiek gericht op getallen of elementen uit het voorbeeld) om die generalisatie te kunnen maken.
Voorbeelden:
Hoe laat je leerlingen op deze vragen reageren? Een aantal suggesties:
Nadenken is iets wat leerlingen lastig vinden om te doen. In een lessituatie waarin de docent aan het uitleggen is (leerling: luisteren), noties maakt op het bord (leerling: lezen) en denkvragen stelt (leerling: in zichzelf moet praten) ontstaat een overbelasting bij de leerling: luisteren en lezen moeten door hetzelfde deel van je hersenen gedaan worden. In jezelf nadenken is praten tegen jezelf (taal!): ook weer zelfde deel van je hersenen wat aan de slag moet. Je zou dus tijd voor iedere stukje apart tijd moeten geven.
Silent teacher en Narration
In de voorbeelden hierboven met de worked examples, zie je twee van de drie kolommen die Craig hierbij gebruikt. Aan de linkerkant werkt hij in stilte het voorbeeld uit. Daarna komen de denk vragen (één voor één) en na afloop wordt nog een keer een heel voorbeeld in zijn geheel gedaan (de kolom aan de rechterkant die niet in de afgebeelde voorbeelden te zien is). Tijdens silent teacher mogen leerlingen alleen kijken en luisteren (niet schrijven of praten dus) om de aandacht volledig te kunnen focussen. Is het een lang voorbeeld dan kun je een stap van de uitleg silent doen, dan de denkvragen stellen en bespreken (het narration deel) om vervolgens weer door de gaan. Bij korte voorbeelden kan dat in één run.
In de eerdergenoemde podcast met Anita Archer worden drie fasen onderscheiden. De I do, We do en You do. Silent teacher zit duidelijk in het I do deel. De denkvragen bespreken zie ik als een brug tussen de I do en de We do omdat we op dat moment nog niet samen een voorbeeld aan het uitwerken zijn. In die fase pak je een nieuw voorbeeld en ga je (ook weer met denkvragen) samen met de leerlingen stap voor stap de uitwerking door. In de You do fase doet de leerling dat alleen.
Nog wat praktische tips bij het bespreken:
- Wat snel kan is klassikaal (choral) een kort antwoord laten geven: je telt af en de klas spreekt tegelijk het antwoord uit
- Mini wisbordjes
- Klassengesprek – Coldcall: niet met vingers opsteken maar random leerlingen aanwijzen en een volgende leerling op de eerste laten reageren
- Klassengesprek – No opt out: ofwel ik weet het niet is niet een einde van het gesprek, altijd bij de leerling terugkomen met een nieuwe of vervolg vraag
En toen was het pauze. Het middag deel van de workshop ging over geheugen en retrieval practice. Daar zat voor mijzelf niet zo heel veel nieuws in. Omdat ik met het schrijven van mijn blogs vooral mijn eigen reflectieproces ondersteun laat ik het middagdeel ook even voor wat het was. Misschien volgt er later nog wel iets, maar ik wil eerst nog de verwerking doen van mijn bezoek aan #Mathsconf29.
Als afsluitend nog een prikkelende vraag die gedurende de ochtend voorbijkwam waar je je eigen gedachten nog eens over kunt laten gaan:
Toelichting bij de slechte voorbeelden:
- 2 x 2 = 4 en 2 + 2 = 4
- Een nul wegstrepen als strategie
- Oppervlakte en omtrek zijn gelijk
- Gemiddelde = mediaan
- De 6 wegstrepen in teller en noemer
Jörgen van Remoortere 