#Mathsconf31 een terugblik

Op zaterdag 11 maart was er #Mathsconf31 in Bracknell (nabij Londen), tegelijkertijd met #ResearchEdN. Dat leek een lastige keuze te worden, maar met de combinatie van even kort vakantie kunnen houden en er echt even uit zijn is het #MathsConf31 geworden. Een dag lang onderdompelen in met name wiskundedidactiek, weerzien met bekenden van vorig jaar en inspiratie opdoen voor het eigen wiskunde onderwijs.

Wat me in ieder geval op is gevallen, is dat de term Cognitive Load in bijna iedere workshop waar ik aan deelgenomen heb wel op één of andere manier terug kwam. Dat blijkt dus echt wel een ding te zijn waar de (wiskunde) docenten in Engeland mee bezig zijn: hoe kun je wiskunde aanbieden en laten verwerken rekening houdend met een optimale belasting van het werkgeheugen van de leerling. Dat is een interessant maar ook ingewikkelde uitgangspositie bij het ontwikkelen van je lessen, al was het maar dat iedere leerling voor je niet dezelfde werkbelasting zal hebben of ervaren bij dezelfde taak.

Workshop 1 – Phasing learning episodes – Dave Taylor

Dave ken ik voornamelijk van werkbladen die werken volgens het principe van backwards fading en increasingly difficult questions. Vandaag ging het over de structuur van je lessenserie:

In het schema hierboven worden een aantal mogelijke structuren getoond, niet om te pretenderen dat de ene beter is dan de ander, maar wel met een voorkeur van Dave zelf voor de laatste vorm. Op die manier probeert hij nu zijn lessen te structureren. Bij behave moet je overigens denken aan ‘je gedragen als een wiskundige’, het gaat niet om (puber)gedrag en klassenmanagement.

Bij iedere fase Teach, Do, Practice, Behave heeft Dave een slide gemaakt over wat die fasen inhouden en ook wat ze niet zijn (de kracht van voorbeelden en non-voorbeelden daarbij gebruikend).

Dave benadrukt dat Teach geen How-to instructie is. Bij Teach word voorkennis geactiveerd, worden meerdere representaties gebruikt, wordt gemodelleerd (expliciete instructie met afbouw van ondersteuning).

De afwisseling tussen Teach en Do is het ontwikkelen van ‘fluency’ voordat de leerlingen zelfstandig gaan oefenen. In deze fase kun je misvattingen, veel gemaakte fouten e.d. snel waarnemen en op acteren.

Wat voorbeelden (Pythagoras) voor respectievelijk de fasen Do, Practice en Behave om je een beeld te geven hoe hij dit ziet:

In de Do fase kun je als iets moeilijkheid toevoegen om de overgang van nadoen van de docent / voorbeeld uit het boek naar zelfstandig oefenen wat kleiner te maken.

In de Practice fase ga je verder dan de procedurele kennis en verleg je de aandacht naar meer diepte en (onderliggende) structuren. De leerling moet meer nadenken en meer doen dan alleen maar het stappenplan volgen.

In de Behave fase wil je dat de leerling gaan denken als een wiskundige, ze ook strategieën moeten aanleren om problemen op te lossen of op onderzoek uit te gaan.

De structuur die Dave aanreikt heeft voor mij wel wat parallellen met de learning episode die Craig Barton in zijn boeken heeft geïntroduceerd:

Een uitspraak van Dave die is blijven hangen ging over de, in Engeland, vaak gebruikte ‘I do, we do, you do’ structuur: “Where do you teach?”

Workshop 2 – Putting more challenge into lessons – Adam Mercer

Een volle zaak bij Adam waarin hij ons mee neemt in zijn zoektocht om meer uitdaging te kunnen bieden in lessen. Die uitdaging zat vroege name op het differentiëren in niveau. Opdracht en keuze ruimte bieden aan leerlingen voor eenvoudige, gewone en uitdagende opdrachten. De moeilijkheid zat meestal meer in lastigere getallen en niet in andere vaardigheden, combineren van domeinen of strategie:

Inmiddels heeft hij een andere kijk hierop:

Gedurende de presentatie geeft hij ons zijn 7 regels voor het toevoegen van uitdaging/ challenge aan lessen:

1. Als de hele klas het moet weten of kunnen, dan is het geen challenge;
2. Als het al gemaakt is door iemand anders: gebruik het!;
3. Als je het niet kunt vinden in 10 a 15 minuten: stop zoeken;
4. Als je het zelf maakt: snel en makkelijk en bij voorkeur in powerpoint;
5. Challenge kan op iedere plek / moment in de les;
6. Challenge vervangt niet het doelgerichte oefenen;
7. Vermijd competitie (boek tip: Boys don’t try)

In alle stappen komen allerlei bronnen op internet voorbij met voorbeelden. Een niet volledige lijst met bronnen voor meer dan gewoon ‘worksheets’:

1. goteachmaths.co.uk (betaald)
2. mathshko.com
3. draustinmaths.com
4. interwovenmaths.com
5. mathsvenns.com
6. openmiddle.com
7. Don Stewards blog
8. Corbett’s conundrums

Als je bestaande bronnen gebruikt moet je je wel aan aantal zaken afvragen of op letten:

Varieer in vormen. Iedere les een venndiagram (bijvoorbeeld) haalt niet alleen het plezier en de verrassing weg, het beperkt leerlingen ook tot één manier van denken of aanpak.

Ga na of alle aspecten van de taak relevant zijn voor je leerlingen in de fase van leren waar ze inzitten.

Vanuit cognitive load: ga na of leerlingen alle vereiste kennis en kunde bezitten om de taak succesvol uit te kunnen voeren. Een tip: maak de opdracht eerst zelf en ga na welke voorkennis en vaardigheden vereist zijn. Dit zelf maken geeft ook gelijk de kans om na te denken over welke ondersteuning je wilt bieden en hoe je de opdracht wil introduceren.

Interessante vormen die passeren zijn: Fault it – Fix it, fill in the blanks, always true – sometimes true – never tru, interweaving, doolhof

Workshop 3 – Everybody loves Pythagoras – Jo Morgan

De uitdaging deze workshop was de snelheid van praten van Jo Morgan volgen in het Engels. Geen tijd in mijn hoofd om te vertalen naar het Nederlands.

Net als bij de vorige Mathsconf workshop die ik van Jo heb gevolgd stonden er twee pythagoras puzzels/opgaven klaar voor aanvang om er al even mee te stoeien. Het mooie is dat het je gelijk in het thema brengt:

Er is al zoveel geschreven en gedeeld over Pythagoras dus hoe zou dit nog wat nieuws brengen? Dat is Jo toch weer gelukt. Misschien niet heel schokkend of vernieuwend, maar wat dingen die je wel weet maar die wat minder aan de oppervlakte liggen, waardoor je je er wat minder bewust van bent.

Waarom is Pythagoras toch zo’n geliefd en bekend onderwerp? Behalve dat het in beginsel voor iedereen toegankelijk is, kan het ook heel uitdagend worden (lof floor – high ceiling). Het is een van de eerste stellingen in de wiskunde die leerlingen tegenkomen en waar ze mee aan de slag gaan. Er zit een mooi stuk geschiedenis aan vast (zowel van de stelling als Pythagoras zelf) wat de wiskunde in een andere context zet voor leerlingen. Er is ontzettend veel materiaal beschikbaar voor docenten en leerlingen. Er is visueel veel mee te doen en daarmee ook wat prikkelender en speelser, motiverender voor leerlingen. En door dit alles is het iets waar iedereen wel herinneringen aan overhoudt.

In het wiskunde curriculum is het ook een onderwerp wat op vaker en op meerdere plekken terug komt. Leerlingen komen er dus vaak mee in aanraking en onthouden het daardoor ook veel beter. Het start op jonge leeftijd met de rechthoekige driehoek, maar ook in de latere modules met cirkelvergelijkingen komt dit terug. Op de site van gcsemathsquestions.co.uk kom je bijvoorbeeld deze presentatie tegen met verzamelde pythagoras opgaven (platte vlak) in examens (GCSE’s).

De volgende slide is er zo één waarvan je het wel weet, maar hoe bewust ben je je ervan en hoe bewust geeft je het aandacht in je lessen als afzonderlijke leerdoelen?

Wat heb ik vervolgens gedaan om die eerste vaardigheid wat meer aandacht te geven in mijn 2 havo klas deze week? Ik heb van de site van Amanda Austin een lijst met geschreven ‘situaties’ één voor één getoond en de leerlinge op hun wisbordje (mini white board) de schets erbij laten maken. Geheel in de stijl van Dave : teach – do – teach do etc kon ik heel snel klassikaal feedback geven, aandacht op aspecten leggen etc. In de loop van de opdrachten nam de kwaliteit van de schetsen zienderogen toe.

Een aardige slide om nog te delen, is een overzicht van misvattingen / veel gemaakte fouten:

Een voorlaatste slide die ik nog wel delen is de kwestie van ‘method selection’. Als we met de klas bezig zijn met de stelling van Pythagoras dan moet de leerling in iedere opgave de rechthoekige driehoek vinden en daarop de stelling van pythagoras toepassen. Pas als ze met de goniometrie aan de gang gaan, dan komt de vraag naar boven: gebruik je bij deze opgave de goniometrische verhoudingen of gebruik je de stelling van Pythagoras. Een manier om ze daar al eerder over te laten nadenken in zichtbaar in de slide hieronder. Op de site van Craig Barton’s SSDD problems kun je er overigens nog wel een paar vinden.

De laatste slide die ik wel delen uit deze presentatie is het zelf berekenen van de lengte van de zijden van een Pythagoreaanse driehoek met gehele getallen. Wel leuk om eens zelf uit te proberen.

Workshop 4 – Talk like a mathematician – Lisa Coe

Lisa komt eigenlijk uit het basisonderwijs en is van oorsprong docente Engels.

Dat wiskunde ook een taal is met een eigen structuur, symbolen, woorden, modellen en representaties is geen geheim. Om wiskunde te kunnen gebruiken, toepassen en er over na te kunnen denken moet je beschikken over een juist taalbegrip, horende bij de wiskunde.

Echt begrip van ieder wiskunde concept kan alleen bereikt worden via representaties, abstracties en verbindingen tussen de verschillende representaties.

Een niet wiskundig voorbeeld: wanneer is een dier een hond. Hieronder is niet de slide die Lisa gebruikte, maar ik wed dat iedereen in alle getoonde dieren een hond herkend.

Stel nu ik laat een afbeelding van een paard zien. Hoe weet je dan dat dat geen paard is? Beschrijvende taal is vaak niet toereikend om eenvoudig iets te definiëren (als je probeert de abstractie te maken). Voorbeelden en non-voorbeelden wel. Je gebruikt dan verschillende representaties en de relaties daartussen om tot een juist concept te komen.

We hebben gekeken naar typisch wiskunde vocabulair (Monroe & Panchyshyn, 1995) wat onder te verdelen is in

1. Technisch: alleen gebruikt in de wiskunde, bijvoorbeeld termen als kwadraat, machtsverheffen
2. Sub-technisch: gebruikt in en buiten de wiskunde maar dan wel met een andere betekening, bijvoorbeeld volume (inhoud, geluidssterkte)
3. Generiek: alledaags taalgebruik waarvan de bekendheid afhankelijk is van voorkennis (achtergrond, ervaringen etc), bijvoorbeeld een centrifuge
4. Symbolen: zoals 3, x, : of = die een specifieke betekening in de wiskunde hebben (en mogelijk daarbuiten ook en mogelijk ook anders)

De vraag die Lisa hardop stelt is: moeten leerlingen alle woorden die wij gebruiken in het wiskunde curriculum ook echt allemaal aangeboden worden, en zo ja: voor welke leerlingen is dat dan relevant (nu of later – in verband met het moment waarop je die woorden deelt met leerlingen).
Er ontstond een levendige discussie over woorden als minuend, subrathend en vinculum etc:

Vinculum is in het Nederlands de breukstreep. Ik weet dat Getal & ruimte in de brugklas hier aandacht aan besteed in combinatie met de deelstreep. Je kunt je afvragen of we voor hetzelfde twee woorden moeten hebben. De interessantste discussie vond ik die van de term ‘ongelijkheid’. Moeten leerlingen (op de basisschool, daar lag nu even de aandacht op) al de term ongelijkheid kennen. Iedereen was het er over eens dat ‘kleiner dan’ en ‘groter dan’ concepten zijn die belangrijk zijn om aan te leren inclusief de gebruikte symbolen < en >. Over de symbolen ≤ en  ≥ waren de meningen als iets meer verdeeld. Uiteindelijk waren de meesten het wel eens met het uitgangspunt dat een basisschool leerling het woord ‘omgelijkheid’ niet perse hoeft te kennen als het begrip van het concept groter / kleiner er wel goed in zit.
Noot: Dave Taylor deelde een week ervoor een mooi twitterdraadje over > en < .

Workshop 5 – Approaching a concept coherently – Peter Mattock

De laatste workshop ronde van de dag. De energie begint wat af te nemen dus ben ik blij dat Peter ons vooral in groepjes laat discussiëren. Aan de hand van Perpendicularity, wat letterlijk haaksheid betekent, maar we houden het maar op het het concept van loodrecht gaan we langs een drietal vragen:

1. Wat wil je dat leerlingen leren over dit concept?
2. Welke voorkennis hebben ze daarbij nodig (in de verschillende fasen waarin ze dit concept uitdiepen)?
3. Wat wil je dat leerlingen er van leren / er mee kunnen doen?

Deze drie vragen helpen je je blik te verplaatsen van ‘Wat moeten de leerlingen nu gaan doen? ” naar “Wat wil ik dat ze hier van leren en wat moeten ze er mee kunnen doen? ” Die shift in gedachten maken, zorgt ervoor dat je anders kunt gaan kijken naar je curriculum, je opbouw erin en het lesmateriaal en vormen die je inzet om leerlingen daar toe te bewegen.

En dan…

Op naar de volgens Mathsconf. Mijn streven is om in oktober weer naar #Mathsconf33 te gaan. De exacte datum heb ik wel voorbij zien komen maar kan ik zo snel nergens terugvinden. Deze staat nog niet aangekondigd op de site van CompleteMaths.

Ik weet wel dat deze in Wakefield is, onder Leeds, dus weer prima te doen met de boot (dan via Hull). Deze keer had ik er met Liesbeth een weekendje London en Windsor aan bast gemaakt. Volgende keer lijkt met me interessant om op donderdag en vrijdag eens met een Engelse wiskunde collega op zijn/haar school een dag mee te lopen.

Dan wil ik ook zelf een korte sessie geven waarin ik aan onze Britse collega’s vertel en laat zien hoe het wiskunde onderwijs in Nederland er uit ziet en georganiseerd is. Dat was eigenlijk al mijn plan voor deze keer, maar daar was ik niet aan toegekomen.

Last but not least: Thanks Julia (@Tessmaths) for driving me and my wife Liesbeth back towards Colchester (near Harwich) on saturday evening!)