De leerling aan het denken krijgen

In onze sectie hebben we eind vorig schooljaar besloten om werk te gaan maken van onze ontwikkeling op het gebied van vakdidactiek. Het handvat dat we gekozen hebben is ‘Volgens Barton‘. Boeken zijn aangeschaft en we zijn begonnen met lezen. Al snel bleek dat er wel heel veel in deze boeken staat waar je mee aan de slag kunt gaan. Uit een eerste schifting kwam de hoofdstukken 4, 6 en 7 als favoriet boven drijven. Deze gaan respectievelijk over ‘Het denken richten’, ‘Uitgewerkte voorbeelden’ en ‘Keuze van voorbeelden en oefenvragen’.

In een vervolg stap heb ik van ieder hoofdstuk een bundeling van de kern ervan gemaakt en hieruit hebben we uiteindelijk hoofdstuk 4, ‘Het denken richten’ gekozen. Het thema dat we voor onszelf benoemd hebben is “Hoe zet je de leerling aan het denken?”.

We zijn het er binnen de sectie allemaal over eens dat:

  • de leerlingen veel focussen op vaardigheden en reproductie;
  • dat voor een deel voort komt uit de periode van onderwijs op afstand, waarin wijzelf ook de nadruk daar wat meer op gelegd hebben;
  • leerlingen veel consumentengedrag laten zien; het lijkt ze te moeten komen aanwaaien en als het niet gelijk lukt wordt snel de handdoek in de ring gegooid;
  • leerlingen denken lastig vinden, en dat is het ook. Dus hoe kunnen we daarvoor de juiste didactiek bij vinden?
  • het denken van leerlingen binnen ons vak juist zorgt voor diepere kennis en meer betekenis. Het tilt het vak op van een kunstje doen, naar wiskunde gebruiken/toepassen/bedrijven om de wereld om je heen te leren begrijpen.

Ontwikkeldagen

We hebben als sectie een aantal ontwikkel dagen/dagdelen in de jaarkalender. Op de eerste ervan heb ik een korte masterclass gegeven over de werking van het geheugen, belang van voorkennis, cognitieve load, silent teacher en doelvrije opgaven.

We hebben daaruit allemaal een element gekozen om alleen of met iemand samen daarvan iets uit te proberen en toe te passen in een of meerdere lessen.

De tweede studiedag was vorige week en ik vroeg me af wat een goede manier was om deze bijeenkomst te starten, met als doel een effectief vervolg te geven aan waar we mee gestart zijn.

Nu kwamen er de afgelopen twee weken verschillende bronnen voorbij die hier allemaal bij aanhaakten. De vraag is of dat toeval is, of dat ik me bewuster was van wat ik voorbij zag komen omdat ik de bril van ‘de denkende leerling’ op had. Ik vermoed dat laatste.

Deze bronnen zijn:

Een blog van Doug Lemov met daarin een poster van Innerdrive.

Een podcast van Beyond Survival (Jamie Thom) met Tom Sherrington over vragenstellen in de les

Het boek Slow teaching van Jamie Thom, met name ook het hoofdstuk 6 over Vragenstellen en wachttijd.

De start van de tweede ontwikkeldag

Mijn start was als volgt:

‘Fahimeh, welke werkvormen die we gehad hebben in de vorige bijeenkomst kun jij je nog herinneren?’

‘Oh, ik heb je vraag gemist, wil je die herhalen?’

‘Zeker, ik vroeg welke werkvormen die we gehad hebben in de vorige bijeenkomst kun jij je nog herinneren?’

‘We hebben het gehad over hoe belangrijk het activeren van voorkennis is, omdat je met actieve voorkennis…….’ (Het antwoord liep nog wat langer door).

‘Jort, kun jij nog aanvullen?

‘Silent teacher.’

‘Dat is zo, en ook naar doelvrije opgaven hebben we gekeken.’

Hierna volgde een tweede vraag:

‘Even een vraag om allemaal over na te denken. In het overzicht van hoe Barton een lessenserie ziet, benoemt hij drie vormen van oefenen. Denk even na welke drie dat waren’.

Na ongeveer 15 seconden liet ik het overzicht zien, met daarin de drie vormen afgedekt, maar wel zichtbaar waar deze qua positie zitten in de lessenserie.

Na nog 15 seconden: ‘Wissel uit met degene naast je, waar komen jullie samen op uit?’

Gevolgd door daarna een klassikale uitwisseling en het volledige plaatje met een korte schets van de inhoud van de drie vormen.

De derde vraag die ik gesteld heb was met wisbordjes. Geleend van Doorloopjes heb ik de volgende afbeelding en vraag laten zien. Dit hebben ze nagetekend en aangevuld.

Na 3 -2 -1 steek je bordje maar op hebben we uitgewisseld en heb ik het plaatje laten zien, die we in de vorige bijeenkomst gebruik hebben.

Vragen stellen

Waarom deze drie soorten vragen? Omdat ik hierna aan mijn collega’s de volgende vragen heb gesteld:

  • Bij welke vorm werd je zelf het meest geprikkeld tot nadenken?
  • Bij welke vorm was je het actiefste ?
  • Van welke ga je – verwacht je – het meest onthouden?

We willen namelijk de leerling aan het denken zetten. En dat kan ook al heel eenvoudig, zonder veel voorbereiding van perfecte werkbladen, presentaties of opdrachten. Dat begint al in de les, hoe je leerlingen bevraagt en hoeveel wachttijd je inbouwt.

Dat laat de volgende poster van Innerdrive mooi zien:

Vragen stellen……. en wachten

In een vraag gestuurd gesprek met de klas moet je doel zijn om alle leerlingen aan het denken te krijgen. Uit onderzoeken weten we inmiddels dat multitasken (meerdere cognitief belastende activiteiten tegelijkertijd doen) niet bestaat. Alleen dat waar je de aandacht op richt vult het (werk) geheugen. Als je leerlingen dus niet activeert om na te denken over de vraag die je stelt, heb je geen zicht of verdere invloed op wat er in het hoofd afspeelt. Alle leerlingen daarom actief betrekken bij je vraag vergroot de kans voor iedere leerling om dat ook te doen!
In het voorbeeld uit mijn gesprek met met collega’s is duidelijk dat als je eerst een naam noemt en dan pas de vraag stelt, de anderen in de klas zich niet aangesproken voelen. Een deel zal misschien wel ook nadenken over de vraag die gaat komen, maar zeker niet iedereen, je bent of voelt je immers niet aangesproken. Ondanks dat ik dit weet, trap ik hier nog wel eens in omdat ik een bepaalde vaart in de les of in het gesprek wil houden. Maar feitelijk ontneem ik dan kansen bij leerlingen.

Dus eerst de vraag stellen en dan pas een naam noemen. Niet met vingers omhoog werken, is dan het devies, want wie zijn vinger niet opsteekt hoeft dan blijkbaar ook niet te denken. En de kans is groot dat de leerling die het weet zijn hand opsteekt, dat is sowieso een slechte graadmeter voor jou om na te gaan of ‘de klas’ dit weet. Tom Sherrington geeft in de podcast nog praktische adviezen over hoe je om gaat met die betrokken en enthousiaste leerling die graag wil laten horen dat hij/zij het weet.

Na het stellen van de vraag wacht je even om een naam te noemen. Leerlingen moet wel denktijd hebben om je vraag te horen, te decoderen wat je eigenlijk van ze vraagt, na te gaan wat ze er van weten (ophalen uit hun lange termijn geheugen) en hun antwoord alvast in hun gedachten te formuleren.

Jamie Thom weidt in zijn boek op pagina 67 ook nog een bladzijde aan de (welbekende) reactie ‘geen idee’ als antwoord van een leerling. Deze leerling mag daar niet mee wegkomen, want als je dit toestaat promoot je eigenlijk dat dit oke is. Terwijl deze leerling in de meeste gevallen gewoon (nog) niet heeft nagedacht of de vraag niet goed heeft gehoord of begrepen. Doug Lemov noemt dit ‘no opt out’.

Bij de toevoeging van het wisbordje voelden mijn collega’s iets meer druk om iets op te schrijven. ‘want mijn bordje mag natuurlijk niet leeg blijven’. Er werd harder nagedacht, maar het miste even de uitwisseling en het completer maken van hun begrip / antwoord. De voordeel van de wisbordjes voor de docent is dat je heel snel van iedere leerling ‘het denken zichtbaar krijgt’.

Wachten is dus een hele simpele interventie om meer leerlingen aan het denken te krijgen. Het kost je geen extra voorbereidingstijd, maar is in de uitvoering misschien lastiger (wachten lijkt altijd langer te duren dan het in werkelijkheid is).

Het vervolg van onze tweede ontwikkeldag

Na het gezamenlijke deel ben ik met twee collega’s die ook lesgeven in de 2 havo jaarlaag aan de slag gegaan met het maken van doelvrije opgaven bij het komende hoofdstuk over lineaire verbanden (grafiek tekenen bij een formule, een lineaire formule opstellen bij een verhaal/tabel/grafiek en het opstellen en oplossen van lineaire vergelijkingen).

We zijn het gewoon om een heel specifiek resultaat te vragen bij een opgave: teken de grafiek bij… , los de vergelijking op, bereken het snijpunt, geef de formule van.. et cetera.

Een doelvrije opgave kenmerkt zich door het open karakter van de vraag. Er wordt een situatie beschreven of gegevens in één of andere vorm gepresenteerd en de vraag komt dan eigenlijk neer op : Wat kun je uit deze gegevens berekenen, tekenen,
opstellen, beredeneren en concluderen?

Zo’n opgave helpt bij het ontwikkelen van een onderzoekende houding, het zorgt ook voor het goed kijken naar de gegeven data en om dat te koppelen aan wat je in je lange termijn geheugen hebt zitten. Het leert leerlingen ook te beginnen aan een opgave. We zien toch vaak dat leerlingen naar een opgave kunnen staren en omdat ze niet gelijk de hele route naar het antwoord kunnen zien, dan ook maar niet beginnen. Wij stellen dan vaak de vraag: ‘Wat herken je wel, of wat zou je wel kunnen?’
Doelvrije opdrachten kennen dan ook niet zo zeer een goed of fout antwoord, daarmee is het een opdracht met een lage drempel en een hoog plafond. Daarmee bedoel ik: iedereen kan instappen, het is laagdrempelig want er is altijd wel iets wat je kunt. En het hoge plafond is dat je qua uitdaging vaak ook verder kunt gaan dan misschien op dat moment van je gevraagd zou (kunnen) worden. Succes voor iedereen en uitdaging die past bij iedere leerling.

Een Engelstalige blog met doelvrije opgaven bij wiskunde is http://goalfreeproblems.blogspot.com/.

Een doelvrije opgave kan zo simpel zijn als:

Klik op de afbeelding om de powerpoint met de vragen van dit hoofdstuk te downloaden.

Wat je hier zoal al mee kunt?

  • benoemen dat dit lineaire formules zijn;
  • dat er één stijgend en één dalend is;
  • dat er één de positieve y-as snijdt in (0,8) en de andere de negatieve y-as in (0,-17);
  • je kunt tabellen maken;
  • je kunt de grafieken tekenen;
  • je kunt uit tabel en grafiek het snijpunt bepalen;
  • je kunt een vergelijking opstellen;
  • je kunt die vergelijking oplossen en het snijpunt berekenen;
  • je kunt een verhaal/context bedenken bij de formules;

Het is wel aan te bevelen om zelf als docent eerst zo’n overzicht helder te hebben voor jezelf, van wat je van leerlingen verwacht. Dat kan helpen bij het gericht vragen stellen. Maar het is ook goed om niet te veel te sturen en je te laten verrassen door wat leerlingen eruit halen.

Duurt zo’n opdracht dan niet lang? Dat kan, zeker als je ergens toch hoopt of verwacht dat ze alles eruit halen wat er in zit. Maar is het dan wel doelvrij? Is dat je bedoeling? Ik zie het meer als training in leren aanpakken & in leren ophalen uit je geheugen. Daar kun je ze 10 minuten voor geven. Maar ook 20 minuten of een hele les. Ik noem daarbij een deel van de les, want zeker als je hier mee start lijkt zo’n opdracht als huiswerk me niet passend. Daar is niemand die kan stimuleren door de juiste vragen te stellen, wie helpt hen doorzetten?

Ik kijk uit om de ervaringen hiermee straks met mijn collega’s uit te wisselen en samen een stapje verder te komen in het leerlingen nog meer aan het nadenken te krijgen bij wiskunde.

Noot: Deze blog is in korte tijd geschreven, met name voor mijn eigen leerproces. Her en der zal er wellicht een typefout of spelfout in zitten. Mocht je een storende fout zien, laat het me weten, dan haal ik die er uit.

Advertentie

‘Fear is the mind killer’ – boekbespreking

Dune liefhebbers herkennen deze zin uiteraard als mantra van de Bene Gesserit uit ‘The litany against fear’.
Dat was echter niet mijn reden om het boek ‘Fear is the mind killer’ aan te schaffen (eind 2020) en te lezen (nu pas). Eigenlijk weet ik niet precies wat ik verwacht had van dit boek; ik vermoed dat de titel me gewoon pakte en ik ook wat wilde lezen (onderwijs gerelateerd) wat niet direct (vak)didactisch van aard was of uit de hoek van evidence informed onderwijs kwam.

De ondertitel van het boek is waar het boek om gaat: ‘Why learning to learn deserves lesson time – and how to make it work for your pupils’.

Het boek beschrijft een proces van ongeveer zeven jaar waarin het leren leren tegelijk als apart curriculum werd onderwezen en het in de vaklessen terug kwam. Het beschrijft de aanleiding, de aanloop, de kritiek op leren leren, de uitvoering, het onderzoek en de resultaten daarvan. Het geeft aan welke factoren allemaal een rol spelen bij het goed implementeren van dit complex gebied, en geeft daarmee handvatten om er zelf op je eigen school mee aan de slag te gaan.

Spoiler alert:

Er ligt een grote kans om het gat wat er is vanuit de kansenongelijkheid, te verkleinen.

Leerlingen die het leren leren traject gevolgd hebben, hebben daar 400 uur aan besteed gedurende een periode van drie jaar. Die uren gingen af van de uren van vaklessen. Uiteindelijk scoorden deze leerlingen significant hoger op de GCSE’s (examens) waarbij de aller grootste winst behaald werd bij de groep leerlingen met de grootste achterstand (sociaal gezien). Met andere woorden: hier ligt een grote kans om het gat wat er is vanuit de kansenongelijkheid, te verkleinen.

De onderdelen van leren leren

Het boek geeft in een eenvoudig schema, helder weer waar wat ze verstaan onder de termen: metacognitie, zelfregulatie en zelfregulerend leren:

Later voegen ze nog een belangrijke derde component toe aan het leren leren curriculum wat ze ‘Oracy’ noemen: het vermogen om te spreken en effectief te luisteren in verschillende contexten.

In het schema (blz 144) is dat terug te zien in een wat uitgebreider plaatje.

Kennis

E. D Hirsch jr geeft in ‘Why knowledge matters’ aan dat een kennisrijk curriculum het verschil maakt tussen goed, en wat hij ondeugdelijk onderwijs noemt. We denken bij kennis daarbij al snel aan kennis vanuit de vakken die we geven om leerlingen te leren lezen, schrijven, rekenen, hoe een maatschappij functioneert, wat we van onze geschiedenis kunnen leren, hoe de natuur met zijn wetten om ons heen zichtbaar zijn etc. De auteurs van dit boek onderkennen dat ook, daar willen ze geen speld tussen proberen te krijgen. Wat ze wel aangeven is dat ‘leren leren’ ook om kennis gaat: weten hoe leren werkt, hoe dat voor jou werkt, welke strategieën er zijn, dat (en hoe) je je gedrag hierbij kunt beïnvloeden: ook dat is kennis waarvan je niet moet verwachten dat leerlingen dat wel weten of ‘en passent’ bij hun vaklessen oppakken. Deze kennis moet je onderwijzen.

Daarin zie ik gelijk ook de overeenkomst met Tom Bennett’s ‘Running the room’ (uitgegeven in Nederland onder de titel ‘Regie in de klas’) waarin hij uiteenzet dat gedrag een aan te leren vaardigheid is voor leerlingen. Hij ziet gedrag als een te onderwijzen curriculum, net als deze auteur het leren leren als een te onderwijzen curriculum zien.

Het feit dat beiden (los van elkaar) aangeven dat een curriculum niet alleen iets is wat te examineren vakinhoud is, maar dat je vanuit je school breder kunt kijken naar wat je wilt onderwijzen en dat als een curriculum aan kunt vliegen. Het voordeel daarvan vind ik, is dat je veel planmatiger kun kijken naar je why, what en how van wat je leerlingen wilt meegeven als school. Dat kun je vervolgens als kern van je onderwijs neerzetten met een afgewogen balans van waar je wanneer tijd aan wilt besteden en hoe je het curriculum kun opdelen in een leerlijn over meerdere jaren binnen je school.

Taal

Misschien wel het allerbelangrijkste verschil tussen ons en alle andere medebewoners van deze planeet is dat wij kunnen denken over ons handelen. Denken vraagt echter een taal. Een taal die past bij waar je over wilt nadenken. Parallel hieraan geldt ook dat je alleen kunt waarnemen waar je kennis van hebt.

Zie je een dressuur van een heer op een paard, zonder dat je kennis hebt van dressuur zelf dan zie je een ruiter op een paard allerlei passen/stappen zetten, wat lijkt op een ingestudeerd patroon. Doe je zelf aan dressuur dan herken je wellicht een volte of een travers. Met andere woorden: je hebt niet alleen geleerd een vorm te herkennen, maar je hebt er ook taal bij ontwikkelt om het te kunnen benoemen en er over te spreken met anderen.

Precies dat is wat waarom de auteurs ‘oracy’ hebben toegevoegd aan hun leren leren curriculum: om over leren leren na te kunnen denken, er op te kunnen reflecteren en het er met elkaar over te hebben moet je daarvoor taal aangeleerd krijgen en met die taal moe je oefenen. Om de transfer te bevorderen (om het uit een geïsoleerd theoretisch kader te halen) moet je niet alleen in een leren leren les hier aandacht aan besteden, maar is het belangrijk om in de vaklessen daar ook aandacht aan te geven en daarbij dezelfde taal te gebruiken!

Waarom gaat dit vaak mis?

Ik zie een aantal dingen regelmatig voorbijkomen waar het op mis gaat of kan gaan:

Als eerste ontbreekt vaak een schoolbrede aanpak. In mentorlessen wordt, al dan niet aan de hand van een methode als bijvoorbeeld Tumult, geïsoleerd tijd besteed aan leren leren. Vaak instrumenteel van aard en gezien wat er allemaal moet gebeuren in een mentorles ook vaak incidenteel, niet terugkerend van aard (herken je het ontbreken van inoefenen, gespreid en herhaald leren?). Vakdocenten weten niet wat er in de mentorles die week/periode aandacht heeft en voor de leerlingen blijft het leren leren dan bij dat ene uurtje mentorles.

Daarnaast wordt er geen of nauwelijks aandacht besteed aan het ontwikkelen van een taal om te kunnen reflecteren, om gevoelens, gedrag en gedachten (de drie componenten van metacognitie en zelfregulatie) om te zetten in woorden. Met de opkomst van meer aandacht voor de executieve functies (waarbij de taal vaak nog abstract is voor leerlingen) ligt er wel een kans om daar wat mee te doen, maar dat vraagt dus specifiek aandacht en onderwijstijd.

Onderwijstijd afhalen van de reguliere vakken lijkt vloeken in de kerk. Op hoeveel scholen zie je tegenwoordig de ontwikkeling naar een meer coachende vorm van het mentoraat of zelfs een meer coachende vorm bij vaklessen. Even los wat je hiervan vindt (met name die laatste): op hoeveel van die scholen is voldoende expertise opgebouwd bij docenten en structureel tijd ingeroosterd/ingepland om te kunnen coachen? Om vaardigheden en taal te ontwikkelen om met leerlingen het te hebben over hun eigen leren, over keuzes die ze (moeten leren) maken en daar op te reflecteren. Ik denk niet of nauwelijks.

En daarmee doen we alles en iedereen te kort, je doet dingen half om dan na een tijd te concluderen dat het niet of niet voldoende effect heeft.

Het traject dat in het boek beschreven wordt, laat zien dat de 400 uur die van de vaklessen is afgegaan en besteed is aan leren leren over een periode van drie jaar, een vooruitgang op de meetbare leerresultaten heeft gehad (hogere scores op GCSE’s). Nog los van de andere winsten die minder meetbaar zijn omdat ze meer op de persoonsontwikkeling hun weerslag hebben.

Het derde probleem dat ik zie is het probleem van schaalbaarheid: het is vaak een kleine groep experts, pioniers, enthousiaste docenten die op beperkte schaal met een (onderwijs) idee of met een focus op een onderwerp aan de slag gaan, daarvoor wat ruimte krijgen van de schoolleiding en op kleine schaal successen behalen. Dan komt de stap van doorpakken, de groep leerlingen waarmee verder gegaan wordt neemt toe. De ruimte die gekregen was, wordt ietsje minder (er zijn meerdere zaken die aandacht, tijd en geld vragen binnen een school), en door de toegenomen groep leerlingen zijn er meer docenten nodig. Die hebben niet allemaal het enthousiasme of de toewijding / beschikbare tijd naast de andere taken, en zijn ook nog niet allemaal getraind in het betreffende onderwerp. In het slechtste geval worden er docenten toegewezen die nog wat ruimte in hun taakuren hadden (bij dit laatste kun je jezelf zelfs afvragen in deze fase: hoe belangrijk vindt de school de ontwikkeling?).

Opschalen van een initiatief binnen een school is niet iets dat vanzelf gaat. Over opschalen heeft het boek het ook en de auteurs hebben daar aanbevelingen voor. Kortgezegd: opschalen lukt niet halfbakken, het moet vanuit prioriteit komen en het moet belangrijk gevonden (en gemaakt?) worden zo dat iedereen er in mee gaat. Een inkoppertje wellicht, maar o zo waar.

Fear is the mind killer

‘Fear is the mind killer’, ofwel angsten die we hebben om ergens voor te gaan, om keuzes te maken omdat we niet alle consequenties kunnen overzien, belemmeren ons en onze ontwikkeling.

‘Fear is the mind killer’, leerlingen hebben hebben angst om te falen, om hun hand op te steken, om zich te uiten; het houdt de leerlingen weg van wat ze eigenlijk nodig hebben, om te proberen. Angst is (vaak) een geconditioneerde reactie op een bepaalde trigger, een stimulus in een bepaalde omgeving. Binnen onze schoolcontext kunnen we leerlingen leren om die angsten te overwinnen door ze vaardiger te maken en taal te geven aan het voelen, denken en gedragen t.a.v. leren en zelfregulatie. Eenvoudig is dat niet, nuttig kan het zeker zijn, mits goed geïmplementeerd.

Voor dat laatste biedt het boek voldoende handvatten denk ik, maar het begint bij de wil om er schoolbreed serieus tijd en inhoud voor in te willen plannen.

Workshop Craig Barton 7 jun 2022

We hebben er als deelnemers even op moeten wachten, het oorspronkelijke plan was in het jaar 2020, maar afgelopen 7 juni was het dan toch zo ver: Craig Barton was in Nederlands voor het geven van een workshop.

Voor wie Craig Barton niet kent: Craig heeft inmiddels twee boeken geschreven How I wish I’d taught maths en Reflect, Expect, Check, Explain. De eerste is vertaald naar het Nederlands door René Kneyber en dat boek wordt inmiddels ook veel gebruik in docentopleidingen. Als er in Nederlands over het tweede boek van Craig gesproken wordt dan wordt vaak deel 2 van de vertaling van het eerste boek van hem bedoeld. Deze is namelijk in twee delen gepubliceerd (en inmiddels ook als één boek te verkrijgen). Naast de twee genoemde boeken heeft Craig ook een aantal websites (diagnostic questions, variation theory, SSDD problems, Maths Venns) in beheer en heeft hij zowat iedereen die iets aan onderwijsonderzoek gedaan heeft in zijn podcast gehad.

De workshop van 7 juni heeft als titel meegekregen: Explanations, modelling and Worked Examples.

Dat Craig veel reflecteert en dat ook belangrijk vindt, weten lezers van zijn 2e boek inmiddels vrij goed. Hij start dan ook met de slide:

Kortom: neem niet alles klakkeloos over maar probeer steeds de vertaling te maken naar jouw eigen situaties en maak het zo concreet mogelijk.

Voorkennis

We worden gelijk aan de slag gezet om een onderwerp te kiezen die we binnenkort in de les gaan introduceren. Vervolgens worden we uitgedaagd om alle benodigde voorkennis die een leerling daarvoor moet hebben op te schrijven en uit te wisselen met de collega naast ons.

Als je daar goed over nadenkt dan is dat vaak heel veel. Zo laat hij zien welke voorkennis relevant is voor het leren bereken van de oppervlakte van een cirkel:

Het belang van de voorkennis is tweeledig. Nieuwe informatie sla je op door het te koppelen aan bestaande informatie. Voorkennis activeren zorgt er voor dat er voldoende haakjes ontstaan waar de leerling wat gaat komen aan kan koppelen / ophangen. Een tweede functie zit in de (ongewenste) belasting van het werkgeheugen. Als delen van de voorkennis nog niet goed in het systeem of geheugen van de leerling zit, dan levert dat een extra, en op dat moment ongewenste, belasting op van het werkgeheugen. Omdat het werkgeheugen beperkt in capaciteit is, blijft er minder ruimte over voor het leren van de nieuwe kennis of vaardigheid. Daar voeg ik dan zelf nog aan toe dat dit ook iets doet met de modus (leerstand) van de leerling: het nieuwe wordt onnodig als moeilijk bestempeld en de leerling haakt al heel snel weer af. Succes op vereiste voorkennis creëren geeft de leerling ook weer wat zelfvertrouwen voor de volgende stap.

Het is natuurlijk niet te doen om alle voorkennis te controleren. De tip van Craig is om de voorkennis te prioriteren en alleen te kiezen voor de essentiële voorkennis, zonder welke de leerling echt niet verder zou kunnen nu. Alleen die delen van de voorkennis controleren je actief in je les. Hier zit de kunst van het weglaten in en leun je op de ervaringen die je hebt: alles is belangrijk, maar waar zitten de struikelblokken?

Voorkennis activeren moet snel kunnen, iedereen moet reageren en je moet voorbereiden hoe je wilt reageren op wat je gaat waarnemen: voorbeelden te geven, leerlingen met elkaar laten uitwisselen en indien nodig kun je ook iets opnieuw uitleggen.

Beslissingen nemen

Nu weet ik niet precies wat de brug naar dit onderwerp was, maar we hebben stilgestaan bij het nemen van beslissingen. Iets wat wij als experts vaak onbewust en automatisch doen, maar wat niet in de werkwijze of systeem van leerlingen vanzelf of bewust gebeurt. Daarom de tip: onderwijs het nemen van beslissingen apart. Beslissen of je antwoord compleet is, beslissen of de breuk volledig vereenvoudigd is, beslissen of iets een vergelijking is, beslissen of je moet optellen of aftrekken bij een stelsel van vergelijkingen: wij als experts denken daar niet meer over na: de vloek van kennis komt voorbij!

Het onderwijzen van het nemen van beslissingen bestaat uit twee stappen volgens Craig: het identificeren van te nemen beslissingen en het nemen van de beslissing zelf.

We passen dit toe op het onderwerp dat we eerder zelf hebben gekozen aan het begin van de workshop (dit eigen onderwerp komt steeds terug, zodat we wat Craig ons laat zien vertelt, steeds actief verwerken en vertalen naar onze eigen praktijk). Ik had gekozen:

Los op: -8a²+2a = 4a

Wat een leerling hier moet beslissen is:

  • Dit is een vergelijking
  • Het is een kwadratische vergelijking
  • Het is een tweeterm
  • Een tweeterm ontbind je met enkele haakjes
  • Ik moet eerst op 0 herleiden

Kijkend naar de eerstgenoemde beslissing, voor veel leerlingen gelijk een lastige: wat is een vergelijking en hoe herken ik die?

Is 2 + 3 = 5 een vergelijking?

En 2a + 3 = 5?

Of 5 = 2a + 3

En is de vergelijking een kwadratische vergelijking?

Bijvoorbeeld 2² + a = 7

En 2 + a² = 7

En deze 2a + a² = a² + 7

Bij het identificeren is het werken met voorbeelden en non-voorbeelden heel krachtig. Ook het opzoeken van de grensgevallen (boundary examples) draagt bij aan een sterk conceptueel begrip. Door steeds een kleine verandering toe te passen kunnen leerlingen focussen op de specifieke kenmerken die jij steeds aan geeft. Daar zit een kern van de variatietheorie achter:

Voorbeelden kiezen (voorkennis en nieuwe kennis)

Het kiezen van goede voorbeelden vraagt een gedegen voorbereiding, want welke (non) voorbeelden en grensgevallen ga je kiezen, waar wil je dat ze over nadenken, waar zitten de misvattingen? De voorbeelden mogen niet te makkelijk, maar ook zeker niet te moeilijk zijn: de eerste ervaring moet positief zijn en de voorbeelden moeten tot denken aanzetten. De voorbeelden moeten ook niet leiden tot verkeerde generalisaties waarbij de leerling met een verkeerde aanpak of foute kennis toch tot het juiste antwoord komen.

Slechte voorbeelden daarvan zijn:

  • 10% van 70
  • Bij een rechthoek met zijden 3 en 6 de oppervlakte vragen
  • Het gemiddelde vragen van 5 6 8 9 12
  • De breuk 16/64 vereenvoudigen

Zie het einde van dit blog om te zien waarom deze voorbeelden niet goed zijn.

Verdere tips bij het kiezen van voorbeelden zijn het voorkomen van terugkerende getallen of elementen in je voorbeelden en niet te veel tegelijk in één voorbeeld proppen: maak een keuze, breng focus aan. Gebruik een aantal gerelateerde voorbeelden (doel: verbindingen leggen) en als je rijtjes maakt met steeds een klein verschil, reset dan na een aantal voorbeelden; begin een nieuw rijtje.

Self explanation – uitleggen aan jezelf

We gaan verder met de leerstrategie: uitleggen aan jezelf.

Uit onderzoek blijkt dat de best presterende leerlingen (ongeveer 20% van de leerlingen) dit vanzelf doen. Leerlingen die dit doen kunnen makkelijker problemen oplossen. Gelukkig is dit een vaardigheid of leerstrategie die aangeleerd kan worden.

Luistertips over dit onderwerp zijn te horen bij concurrent / collega podcaster Ollie Lovell in zijn ERRR podcast #044 met Alexander Renkl en podcast #060 met Anita Archer.

Het aanleren van deze strategie kun je ondersteunen door op bepaalde momenten vragen te stellen die het denken richten. Zoals: Wat gebeurt er nu? Wat heb ik net gedaan? Wat denk je dat er nu volgt? Klopte je verwachting, wat was er anders en waarom? Het tweede boek van Craig heet niet voor niets Reflect, Expect, Check, Explain bedenk ik me nu. Door met behulp van deze vragen de leerling te laten nadenken gaat de leerling verbindingen leggen tussen het specifieke voorbeeld en de generieke regel. De prompts (aanwijzingen en vragen) die je geeft zijn generiek van aard (dus niet specifiek gericht op getallen of elementen uit het voorbeeld) om die generalisatie te kunnen maken.

Voorbeelden:

Hoe laat je leerlingen op deze vragen reageren? Een aantal suggesties:

Nadenken is iets wat leerlingen lastig vinden om te doen. In een lessituatie waarin de docent aan het uitleggen is (leerling: luisteren), noties maakt op het bord (leerling: lezen) en denkvragen stelt (leerling: in zichzelf moet praten) ontstaat een overbelasting bij de leerling: luisteren en lezen moeten door hetzelfde deel van je hersenen gedaan worden. In jezelf nadenken is praten tegen jezelf (taal!): ook weer zelfde deel van je hersenen wat aan de slag moet. Je zou dus tijd voor iedere stukje apart tijd moeten geven.

Silent teacher en Narration

In de voorbeelden hierboven met de worked examples, zie je twee van de drie kolommen die Craig hierbij gebruikt. Aan de linkerkant werkt hij in stilte het voorbeeld uit. Daarna komen de denk vragen (één voor één) en na afloop wordt nog een keer een heel voorbeeld in zijn geheel gedaan (de kolom aan de rechterkant die niet in de afgebeelde voorbeelden te zien is). Tijdens silent teacher mogen leerlingen alleen kijken en luisteren (niet schrijven of praten dus) om de aandacht volledig te kunnen focussen. Is het een lang voorbeeld dan kun je een stap van de uitleg silent doen, dan de denkvragen stellen en bespreken (het narration deel) om vervolgens weer door de gaan. Bij korte voorbeelden kan dat in één run.

In de eerdergenoemde podcast met Anita Archer worden drie fasen onderscheiden. De I do, We do en You do. Silent teacher zit duidelijk in het I do deel. De denkvragen bespreken zie ik als een brug tussen de I do en de We do omdat we op dat moment nog niet samen een voorbeeld aan het uitwerken zijn. In die fase pak je een nieuw voorbeeld en ga je (ook weer met denkvragen) samen met de leerlingen stap voor stap de uitwerking door. In de You do fase doet de leerling dat alleen.

Nog wat praktische tips bij het bespreken:

  • Wat snel kan is klassikaal (choral) een kort antwoord laten geven: je telt af en de klas spreekt tegelijk het antwoord uit
  • Mini wisbordjes
  • Klassengesprek – Coldcall: niet met vingers opsteken maar random leerlingen aanwijzen en een volgende leerling op de eerste laten reageren
  • Klassengesprek – No opt out: ofwel ik weet het niet is niet een einde van het gesprek, altijd bij de leerling terugkomen met een nieuwe of vervolg vraag

En toen was het pauze. Het middag deel van de workshop ging over geheugen en retrieval practice. Daar zat voor mijzelf niet zo heel veel nieuws in. Omdat ik met het schrijven van mijn blogs vooral mijn eigen reflectieproces ondersteun laat ik het middagdeel ook even voor wat het was. Misschien volgt er later nog wel iets, maar ik wil eerst nog de verwerking doen van mijn bezoek aan #Mathsconf29.

Als afsluitend nog een prikkelende vraag die gedurende de ochtend voorbijkwam waar je je eigen gedachten nog eens over kunt laten gaan:

Toelichting bij de slechte voorbeelden:

  • 2 x 2 = 4 en 2 + 2 = 4
  • Een nul wegstrepen als strategie
  • Oppervlakte en omtrek zijn gelijk
  • Gemiddelde = mediaan
  • De 6 wegstrepen in teller en noemer

#MathsConf29 – eerste overpeinzingen

Tijdens (of beter: dankzij) de Covid lockdowns kreeg de kans om een #MathsConf een keer bij te wonen: online. Daarvoor heb ik het altijd met de twitter draadjes moeten doen. Ik had me voorgenomen om, als het weer live zou zijn, eens een keer te gaan. Vandaag was de tweede fysieke bijeenkomst na de lockdowns en ik ben geweest.

Misschien ga ik er nog een keer wat langer op in, op de verschillende sessie die ik heb bijgewoond en waarom dit echt een toevoeging is aan wat we in Nederland aan wiskunde bijeenkomsten hebben.

Voor nu is dit een poging om mijn eigen ‘take away ‘ helder te krijgen. En dat is even nodig, want ik heb zo veel gehoord en gezien vandaag, dat het een soort overload is aan gedachten en ideeën. Ik heb het gevoel dat er wel een rode draad in zit.

En die rode draad komt wellicht door wat collega Fahimeh in onze sectie bijeenkomst afgelopen week als antwoord gaf op een gestelde vraag: “Hoe krijgen we de leerling aan het denken? ” De vraag was met welk onderwerp we uit de boeken van Craig Barton volgend jaar als sectie gemeenschappelijk gezamenlijk willen starten met onze professionalisering. Specifieker verwees mijn collega nog naar twee hoofdstukken met onderdelen als Silent teacher (met denk prompts) en worked examples (als ik me niet vergis).

Vandaag heb ik een aantal sessies bijgewoond, en per sessie zijn de volgende kernwoorden blijven hangen

Ronde 1: Behaving mathematically: onderzoeken, verwondering, verbazing, denkvragen stellen, patronen herkennen, generaliseren, “My job is not to turn you into calculators, but to make mathematicians ” , wat valt je op. “Thinking mathematically “, op welke andere manieren

Ronde 2: Highly effective teaching: mastery learning (every student), belang van voorkennis helder hebben en dat tijdig op- en aan te pakken; responsive teaching, vak- en pedagogische kennis, cognitieve belasting, planning en fasering, verschillend representaties van hetzelfde

Ronde 3: Challenge in every topic: denken, probleem oplossing, redeneren, generaliseren, diepte voor versnellen. Niet meer van het zelfde, grotere getallen, snelheid in fluency verhogen (hoger dan nodig). Verbindingen leggen, interweaving, patroon herkenning, onderzoeken,

Ronde 4: Inside the x-box (fear/dislike algebra and how to overcome): patronen onderzoeken (samen), algebra laten zien als hulpmiddel om te generaliseren, curse of knowlegde (verwarring en misunderstanding van generalisaties) , taalgebruik, “algebra is de generalisatie van wat altijd waar is “, denken, betekenis geven

Ronde 5: Great tasks and where to find them: interweaving, denkvragen (andere oppervlakte, zelfde vaardigheid), wat is hier aan de hand, wat valt je op, wat herken je, fouten van anderen onderzoeken, diepte (richting begrip en concept) i.p.v. alleen moeilijker op inhoud.

Nu ik het zo op een rijtje terug zie en ik door mijn aantekeningen, oefeningen tijdens de workshops en de gemaakte foto’s van slides terug bladeren dan zie ik in bijna allemaal het volgende terug als een soort van rode draad en wellicht gekleurd ook door andere gedachten (ben het boek “Mathematical tasks – the bridge between teaching en learning”, door Chris McGrane en Mark McCourt aan het lezen) :

  • Wiskunde is meer dan een opsomming van een lijst van vaardigheden en algoritmen kunnen uitvoeren, dat is misschien een basis om je werkgeheugen te ontlasten om waar het echt over gaan: kunnen kijken naar patronen, verbanden en relaties kunnen leggen, kunnen generaliseren, kunnen onderzoeken op (on) juistheden. Diepere kennis van een concept kan ook (wellicht niet altijd) het leren van de vaardigheid ondersteunen;
  • Werken met patronen maakt een lage instap voor iedereen mogelijk (en dus ook succes), het creëert de kans / behoefte te generaliseren (algebra);
  • Gedachtenloos rijtjes opgaven afwerken ontneemt de leerling de kans om echt te leren;
  • De twee punten hierboven gaan een leerling nooit vanzelf doen: de juiste setting of cultuur (fouten maken mag/moet) , de juiste vragen stellen (geen antwoorden geven, maar vragen die het denken richten op wat van belang is), veel interactie tussen leerlingen onderling en leerlingen / klas – docent: het moeten verwoorden = denken!
  • De huidige examen promoten echter nog (te) veel het tegenovergestelde: testen van vaardigheden en probleemoplossen in contexten die niet direct gericht zijn op diepte kennis van concepten en relaties. Daardoor krijg je onderwijs dat zich hierop richt, i.p.v. het ontwikkelen van de houding en ‘soft skills’ die horen bij een wiskunde denk- en werkhouding. Die kun je wellicht alleen mondeling testen of observeren ‘terwijl het plaats vindt’.

Als we echt aan de slag willen met het aan het denken krijgen van leerlingen dan moeten we goed helder hebben waarover we ze willen laten nadenken, en wat voor ons en de leerlingen nu de eerste stappen kunnen zijn om dat in ons curriculum op school en in combinatie met de gebruikte methode en planning kunnen gaan inbouwen. En stiekem willen we ook nog iets met gespreid en herhaald oefenen. Is die combinatie op te pakken in één keer : gaat het elkaar bijten inhoudelijk of bij ons zelf in onze ontwikkeling of kan het elkaar juist versterken. Daar nog maar eens goed over nadenken.

PS: vergeef me even alle layout foutjes, type foutjes en spellingsfoutjes: het was een overvolle dag en primaire doel was nu even mijn eigen gedachten ordenen. Storende fouten: geeft ze svp door dan pas ik het zsm aan.

Dunlosky’s Strengthening the student toolbox – In action (book review)

Deze blog is ook beschikbaar in het Nederlands(klik hier).

In the workshop, given by maths teacher Craig Barton on the  7th of June in Utrecht (The Netherlands), Craig had this slide:

I knew then that the ‘In Action’ book by Amarbeer Singh Gill with the title ‘Dunlosky’s Strengthening the Student toolbox’ I had in pre-order was going to be a good choice. Two days later the book was delivered..

Dunlosky’s article dates from fall 2013 and has been used for further research and publications since. For those who are already familiar with Dunlosky’s work or with evidence informed learning strategies like distributed practice, testing effect and the less effective use of a highlighter, this newly published book might not contain much new information.

And yet…

Something about Amarbeer’s writing makes me enthusiastic. I think it is down to how he worked the strategies into examples as well as why they work, how they work and when to use them. It’s never pedantic, and better yet, he makes a good case not to look at these strategies are good or bad: how you use them is what makes them successful, or not. A quote he uses from a colleague of him states this pretty well:

“The only thing worse than a bad idea is a good idea badly implemented”

For example, using a highlighter to give focus to keywords or statements might be effective to quickly focus your attention. But not if you only reread the highlighted text, that requires no effort, and effort is needed to learn. So if you combine the highlighter with other strategies such as retrieval or self explanation, then the use of a highlighter might even support the learning.

Table of contents

As you can see in the table of contents the book is  to the point and in a clear format.
After a brief introduction on the research of Dunlosky and relevant information on the science of learning, Amarbeer sets out the strategies in three parts: most effective, promising and less useful strategies.

Every strategy is worked out in the same structure:

  • What is it?
  • Why does it work?
  • How can you use it in the classroom (with examples of different subjects)?
  • A classroom example
  • What are the limitations to be mindful of?

For the less useful strategies he adds another paragraph: Under what conditions might this strategy work?

Use them yourself

The closing paragraph speaks for itself:

Students won’t use these strategies all by themselves, they need to be taught. Not just by show and tell, by putting the strategy in action in your classroom, students can experience them as well. This strengthens their learning, in other words:

Practice what you preach.

Doelgroep

For whom is this book written? As someone who has read a lot of educational research and  translated what I’ve learned to my classroom practice, the contents of this book are not new to me. But how Amarbeer talks about them and the examples he uses, give a fresh look, so  I still picked up some new things, which was a pleasant surprise. 

If you are familiar with the Learning Scientists, the Walkthru series or you’re a visitor of ResearchEd, then it’s a quick read with a lot of recognition, clear structure and probably some new perspectives. And if you’re new to this material I  think that this might be an absolutely great read. The way Amarbeer sets it out is low floor, high ceiling. Easy and clear to read, nice build up with a load of practical tips. 

Tip for experienced teachers: buy this book, read it and give it to a colleague with less knowledge or experience on this subject. It gives a nice starting point for  a rich conversation!

Dunlosky’s Strengthening the student toolbox – In action (boek bespreking)

This blog is also available in English (click here).

In de workshop die Craig Barton vorige week dinsdag (7 juni) gaf in Utrecht was één van zijn slides:

Toen wist ik, dat het In Action boek van Amarbeer Singh Gill met de titel ‘Dunlosky’s Strengthening the Student Toolbox’ dat ik in bestelling had staan, geen miskoop kon zijn. Twee dagen later lag het boek op de deurmat.

Het artikel van Dunlosky dateert al weer van eind 2013 en heeft sindsdien in veel onderwijsonderzoeken een vervolg gekregen. Daarmee zal veel van de inhoud van dit origineel artikel en het net uitgekomen boek niet veel nieuws bevatten voor wie bekend is met leerstrategieën als gespreid leren, het test effect en de beperkte invloed van herlezen, samenvatten en het gebruik van de markeer stift.

En toch.

Iets maakt dat ik enthousiast ben over hoe Amarbeer een aantal van de strategieën uitgewerkt heeft naar voorbeelden, naar waarom ze werken en naar hoe en wanneer je ze kunt inzetten. De toon is daarbij nooit belerend. Sterker nog, hij maakt heel duidelijk dat je niet over deze strategieën moet praten in termen als goed of slecht. Het gaat erom hoe je de strategie inzet wat maakt dat het al dan niet succesvol wordt. Een quote die hij aanhaalt van een collega van hem geeft dat ook weer:

“The only thing worse than a bad idea is a good idea badly implemented”

Andersom geeft hij ook duidelijk aan dat, bijvoorbeeld, de markeerstift helemaal niet verbannen hoeft te worden, deze kan zeker toegevoegde waarde leveren. Echter niet als de leerling bij het leren alleen het gemarkeerde herleest. Dat vergt namelijk geen inspanning en zonder inspanning leer je niet (of toch veel minder dan met inspanning) . Het kan wel helpen om makkelijk passages of kernwoorden terug te vinden. Als je dan andere leerstrategieën daarmee combineert, helpt dit om focus aan te brengen.

De inhoudsopgave

Zoals je in de inhoudsopgave kunt zien is het geheel mooi overzichtelijk. Een introductie gevolgd door gebundelde de strategieën met de meeste impact, de veelbelovende en de minst effectieve.

Elke strategie werkt Amarbeer uit in:

  • Wat is het?
  • Waarom werkt het?
  • Hoe zet je het in, in je les (met onderscheid naar verschillende vakken)?
  • Een praktijkvoorbeeld van een docent
  • Wat zijn de beperkingen, waar moet je op letten?

Bij de minder effectieve strategieën voegt hij nog een paragraaf toe over ‘Onder welke omstandigheden zou het wel effectief kunnen zijn?’

Use them yourself

De afsluitende twee alinea’s spreken voor zich:

Een leerling gaat niet vanzelf strategieën toepassen, de transfer van uitleggen wat je doet en waarom je dat doet wordt versterkt als je zelf als docent die strategieën ook toepast in je lessen.

Practice what you preach.

Doelgroep

Voor wie is dit boek geschikt? Ik beschouw mezelf toch al redelijk ingelezen op de strategieën die in het boek beschreven staan. Desondanks is hoe Amarbeer het beschrijft, soms toch weer net met andere woorden. Je pakt er dan net iets anders weer uit op. Toch denk ik dat het meer voor een lezer is die minder bekend is met de leerstrategieën. Ken je “Wijze lessen”, ga je wel eens naar ResearchEd, heb je Doorloopjes in je kast staan: dan zal dit niet veel toevoegen. Aan de andere kant: het is reuze overzichtelijk, de strategie wordt vanuit verschillende invalshoeken bekeken en dat levert toch weer mooie opfrissing op. En daarna geeft je het boek door aan een collega die hier nog minder bekend mee is. Dat ga ik in ieder geval ook doen! Heb je die collega’s niet in de buurt? Kijk dan eens op twitter via #onderwijsboekopreis. Voeg ‘m toe aan de lijst en kijk of er nog een interessant boek voor jou bij zit.

Naamswijziging facebookgroep Actief leren zonder cijfers

De facebookgroep ‘Actief leren zonder cijfers’ gaat vanaf 1 juni a.s. verder als groep ‘Formatief handelen’.

Daartoe hebben de beheerders, na een peiling onder de leden toe besloten. De huidige naam dekt niet (meer) de lading en houdt een hardnekkig misconcept in stand.

Een klein stapje terug in de tijd

Ruim een jaar geleden passeerde de facebookgroep ‘Actief leren zonder cijfers’ de grens van 10 000 leden. Een mijlpaal die niet te voorspellen was bij de oprichting ervan eind 2015.

Over het bereiken van die grens is een blog geschreven waarin over het ontstaan van de groep wordt geschreven.

Uit die blog:

Als je een groep start dan moet je die groep ook een naam geven. Daar zijn meerdere dagen overheen gegaan en we vonden (en vinden nog steeds) dat het cijferloze niet centraal moet staan, maar dat we wel vinden dat het leren al in minuut één moet beginnen en niet een paar dagen voor de toets. De constatering dat leerlingen pas aan het leren lijken te gaan als we er een cijfer aan vastkoppelen staat ons zo tegen dat we wel iets met het woord ‘cijfer’ willen. Juist omdat we de cultuur van leren en werken voor een cijfer willen doorbreken. We komen al uitwisselend ook op ‘leren’ uit. Niet op werken of doen, maar de focus moet op ‘leren’ liggen. Dat leerlingen daarvoor allerlei dingen moeten doen, uitvoeren en presteren is evident. Zo komen we op ‘actief’ uit. Zoals o.a. Dominique Sluijsmans nu regelmatig zegt: “Het zweet moet op de juiste rug staan.” Het moet de leerling zijn die actief bezig is met leren, tegenover het consumentengedrag dat we te vaak zien in onze lessen.

Zodoende is de groep ‘Actief leren zonder cijfers’ geboren.

De tijd staat niet stil en in de loop van de jaren hebben de termen formatief en summatief hun plek gevonden in het onderwijsjargon en hebben veel docenten en scholen een zoektocht gemaakt in wat die termen nou precies inhouden en hoe je die vertaalt naar de praktijk op de eigen school. We zien dat een aantal misconcepten m.b.t. formatief hardnekkig zijn en één daarvan is het misconcept dat formatief toetsen/evalueren betekent dat je geen (of heel veel minder) cijfers gaat geven. Onlangs verscheen er, als voorbeeld, een artikel op RTL nieuws waar ‘minder cijfers geven’ weer sterk de aandacht krijgt.

Het handelen van de docent centraal

Bij de oprichting was er de behoefte en de wens een community te hebben waarin de leden actief met elkaar uitwisselen: ervaringen, gedachten, zoektochten, werkvormen etc. 

Terugkijkend valt ook op dat de focus heel erg op het activeren van de leerling lag, wat later door is geslagen naar de leerling eigenaar maken van zijn/ haar eigen leerproces. Doorgeslagen, want met het (grotendeels) leggen van het eigenaarschap bij de leerling doe je de docent te kort. Formatief is niet toetsen zonder cijfers, het is niet delen van leerdoelen (al dan niet met rubrics), het is niet de bal helemaal bij de leerling leggen. Formatief is didactiek, is handelen, is wat je gepland in je lessen doet (of niet doet) over een langere periode heen. Didactiek is het domein van de docent, en daarmee willen we onze focus verleggen. Het handelen van de docent staat centraal en binnen de groep willen we juist weer richting een community waarin docenten elkaar en zichzelf willen beter maken, elkaar een klankbord en een spiegel bieden. Een community waarin we elkaar scherp houden, activeren, waarin we delen wat onze ervaringen zijn en leren van de ervaringen van anderen. Als we namelijk de docent hierin kunnen ondersteunen, dan kan de docent vervolgens de keuzes maken die het best passen bij zijn / haar klas, vak, leerlingen school etc. 

De nieuwe naam

Omdat het dus om didactiek gaat en daarmee om het handelen van de docent, wordt de nieuwe naam ‘Formatief handelen’. Natuurlijk bestaat niet al het handelen van de docent vanuit de ‘formatieve’ gedachte, maar dat is wel het ‘smalle’ en tegelijk complexe aandachtsgebied van deze groep. 

Bij principes die onder de vlag van formatief handelen vallen of daar sterk aan gelieerd zijn kun je bijvoorbeeld denken aan het bijbrengen van kwaliteitsbesef (in relatie tot succescriteria), het geven en leren verwerken van feedback, het inzetten van leerstrategieën als retrieval practice, gespreid leren etc. Een ander belangrijk aspect dat nu nog minder aandacht krijgt, is het planmatig formatief handelen. Dat vraagt een grondige kennis van het ontwerpen van een curriculum waarin je op sleutelmomenten formatief handelen inzet. Alleen dan kom je uit het impulsief en bij gelegenheid toepassen van formatief handelen en komt het formatieve handelen pas echt tot zijn recht.

Door de aandacht op het deel van de didactiek te houden, hopen we dat docenten makkelijk en laagdrempelig elkaar weten te vinden en elkaar weten te stimuleren. We hopen met deze aangescherpte focus de uitwisseling in de groep tussen de leden onderling weer een impuls te geven. Er zullen altijd verschillen blijven in hoe actief iemand deelneemt, maar we kunnen alleen van en met elkaar leren als en een mooie balans is tussen brengen en halen, tussen zelf delen en gedeeld materiaal gebruiken. Omdat we zelf allemaal lerend zijn, hoeft ook niet alles wat gedeeld wordt perfect te zijn. Sowieso zal iedere docent altijd de vertaling moeten maken naar de eigen klas en situatie. Door delen, te reageren op elkaars vragen en elkaar te inspireren passen we tegelijkertijd de formatieve cyclus toe op ons eigen leerproces. Zo blijven we onszelf en elkaar ontwikkelen. We kijken uit naar mooie uitwisselingen!

Gedachten over ´Weer grip op je onderwijsresultaten ´

Twee weken terug las ik de blog ‘Weer grip op je onderwijsresultaten‘ van Karien Wijngaards op de site van Toetsrevolutie.

In de blog doet Karien een ‘aantal suggesties aan docenten die het lesgeven momenteel als ingewikkeld ervaren en teleurgesteld zijn over de leeropbrengsten van hun leerlingen. ‘ Ze noemt twee waarnemingen op verschillende scholen, namelijk dat er krampachtig wordt vastgehouden aan het curriculum zoals dat voor Corona was, met wat aanpassingen links en rechts. Daarnaast wordt er gesleuteld aan cijfers (en ik neem aan normeringen) om een gemiddelde op te trekken.

Tot de voorlaatste toets had ik zelf niet zo’n last van tegenvallende resultaten in mijn klassen. De laatste toets echter wel in mijn brugklas en mijn 2 havo groep; daar was ik ontzettend verrast (ondanks mijn intensief formatief handelen) over de prestaties bij de afsluitende toets. Navraag bij mijn leerlingen leerde dat zij vooral of zichzelf overschat hadden of de moeilijkheid onderschat. Beiden reken ik me aan, want als die onder- of overschatting er is, dan moet dat tijdens de lessen al ‘gewoon’ duidelijk worden. Voor hen, en voor mij. Feit blijft dat wat geleerd moest zijn, nu niet geleerd door de meesten. Bij beiden groepen is het een belangrijk hoofdstuk (met het oog op volgend schooljaar) dus het hier bij laten is geen optie.

De vijf tips die Karien geeft, die doe ik eigenlijk allemaal al, maar waar het nu met name knelt is de beschikbare lestijd die mijn klas en ik nog hebben.
Het curriculum dat we voor dit jaar voor ogen hadden hebben we gedurende het jaar al twee keer (fors) bijgesteld. We gaan nu ongeveer de lesstof ter orde grootte van 2 van de 8 hoofdstukken niet doen. Daarover hebben we afstemming gehad met leerjaar 3 om geen probleem in de doorlopende lijn naar komend schooljaar te creëren en dat lijkt op deze manier nog allemaal net goed te gaan.
We hebben besloten over een deel van het laatste hoofdstuk dan we gaan doen een SO te geven en in de afsluitende toets een combinatie te maken van dit laatste hoofdstuk en het hoofdstuk wat niet goed is gegaan.

Dat lijkt dus allemaal geen probleem te zijn en toch blijft dit wringen en voelt het niet goed.

Hoe dat komt? De focus ligt nu volledig (maar dan ook echt volledig) op vakinhoud en binnen de vakinhoud ook nog (bijna alleen) op de basis vaardigen en niet op de toepassing er van in een bredere context. De leerling leert nu een stukje wiskunde in isolatie en krijgt niet de mogelijkheid (tijd) om verbanden te leggen met andere gebieden het toe te passen in andere contexten en om het gereedschap als middel te leren gebruiken bij het oplossen van vraagstukken.
In een eerdere blog schreef ik over de doelen van wiskunde onderwijs:  “Een doel van het leren van wiskunde is het ontwikkelen van een wiskunde taal om jezelf in uit te drukken en om met die bril te kunnen nadenken.”

Daar kan ik nu niet of toch veel te weinig tijd aan besteden. Houd ik dan nog te krampachtig vast aan het curriculum? Kan ik in deze fase als individuele docent daar nog veel aan veranderen? Ik denk het niet.

Binnen de sectie hebben we al eens gesproken over een ´ui-model´ m.b.t. het kerncurriculum wat echt moet, een schil er om heen met wat ook belangrijk maar niet essentieel is. Daaromheen zit een schil wat wij als school en sectie belangrijk vinden en willen en dan als buitenste schil de persoonlijke wensen van de individuele docent.

Hierin zie ik twee aandachtspunten

  1. Dit kunnen we niet als sectie alleen. Wiskunde is (ook) een ondersteunend vak en we moeten voorkomen dat wij vakinhoud niet of niet tijdig behandelen waar andere vakken dat (op een gegeven moment) nodig hebben. Er is ook een risico dat we denken: “oh, eenheden dat leren ze wel bij natuurkunde” of “procenten doet economie ook, dus dat hoeven wij niet te doen”. De samenhang van het totaal aan curriculum moet je schoolbreed afstemmen. Dat proces kost tijd, vraag flexibiliteit en een zorgvuldige afweging en planning.
  2. De kans is groot dat we niet over één ui spreken, omdat we meerdere doelen nastreven dan alleen sec vakinhoud (en met name: vaardigheden) als curriculum te zien. Zoals ik al eerder verwees naar mijn vorige blog: er is zoveel moois te laten zien en laten ervaren over waar de wiskunde om ons heen is, hoe je wiskunde als een taal leert om die wiskunde in je omgeving te kunnen waarnemen, daar woorden aan te kunnen geven, over na te kunnen denken en vragen over te kunnen onderzoeken.

Deze twee aandachtspunten zijn (in mijn hoofd) te groot om daar in deze fase van het schooljaar nog zodanig handen en voeten aan te kunnen geven dat ons dat heel praktisch gezien gaat helpen de komende laatste 10 schoolweken van dit schooljaar. Wat het wel oplevert, is dat de noodzaak om als secties met elkaar binnen de school, en vervolgens binnen je eigen sectie een heel goed en schaalbaar beeld te vormen van het curriculum: wat willen we dat leerlingen leren?

De recent gepubliceerde Curriculumwaaier die SLO eind maart heeft gepubliceerd zou hier een bruikbaar instrument voor kunnen zijn om met elkaar dat gesprek erover aan te gaan en te komen tot een mooi samenhangend curriculum waarin we ook snel kunnen schakelen bij tijd te kort of tijd over. Alhoewel dat laatste voorlopig een droom blijft, ben ik bang.

Ik ben het volledig met Karien eens, dat je beter minder dingen goed kunt doen dan meer dingen en dat dan allemaal net niet. Daar wordt niemand blijer van. Echter dingen nu niet doen creëert een ander probleem voor de collega volgend schooljaar. Met het uitgangspunt: wat je doet goed doen is de keuze snel gemaakt. We doen minder en proberen dat zo goed mogelijk te doen.


Zonder een goed overwogen en afgestemd curriculum blijft het nu kiezen tussen twee kwaden. Wellicht dat ik het daar voor mezelf te moeilijk maak: het niet willen accepteren dat het nu niet anders is dan dit en dat in deze fase een goed overdachte keuze goed genoeg moet zijn. Voor nu. Ik vind dat lastig.

Over (wiskunde) onderwijs

De uiteindelijke trigger om deze blog te schrijven was het artikel van Koeno Gravemeijer in Didactief (maart 2022) over ‘Rekenen-wiskunde past niet in het model’. Met ‘het model’ wordt gerefereerd naar een trend in onderwijsland wat je generaliserend onderwijsonderzoek kunt noemen. Onderzoek wat leidt tot één onderwijsmodel waar voor alle vakken het beste onderwijs uit komt. Het artikel in Didactief is een verkorte versie van een longread die eerder op didactiefonline verschenen is. Door het inkorten van het artikel zijn er, in mijn ogen, wat nuances kwijtgeraakt en komt één en ander wat zwart – witter op mij over. En dat triggerde mij om wat gedachten die al langer in mijn hoofd dwarrelden eens op papier uiteen te zetten. Al was het maar om mijn eigen gedachten te ordenen.

Het begin van het artikel in Didactief.

Het vak past niet in een model

De eerste trigger was in de inleiding de zinsnede: ‘rekenen-wiskunde past niet in dit model’. Uitspraken van gelijke strekking heb ik wel vaker gehoord als ik ergens een training gaf over formatief werken : ‘Bij mijn vak kun je niet formatief toetsen’. Aan de andere kant, en dat blijkt wat meer uit de longread, heeft Gravemeijer zeker gelijk dat er in het onderwijs altijd een spanningsveld zit tussen onderzoek en de dagelijkse lespraktijk. Vaak wordt een model of een aanpak vanuit een onderzoek neergezet als ‘zo moet je het doen en dan komt het goed’. En dat is zelden het geval in de praktijk, om (zeker) twee redenen.

Ten eerste, als ik als docent een model of aanpak oppak en ga uitwerken dan ben ik op dat gebied en op dat moment een beginner. Ik maak daarin fouten, begrijp nog niet alle onderliggende principes en bij de uitvoering mis ik daarom belangrijke momenten om te handelen of maak ik keuzes die niet passen bij het model. Ik heb tijd nodig om me dit eigen te maken en het is nog maar de vraag of ik dat volhoud en doe, of dat ik besluit dat dit niet werkt voor mij en mijn klas.

Ten tweede, een klas is een dynamisch iets en is nooit hetzelfde. Er zijn zoveel factoren die een rol spelen, iedere dag weer. Hoe goed de lesvoorbereiding ook is: het loopt vaak toch net even anders. Ik moet improviseren, schakelen, meeveren, grenzen stellen op allerlei dimensies. Een model of een aanpak is een handvat, een houvast. Iets wat je op bepaalde momenten in je les kunt gebruiken. En soms dus ook niet. Het is het vakmanschap van de docent dat bepaalt welk instrument hij/zij op dat moment inzet. Er is dus niet iets als ‘zo moet het en dan komt het goed’ in alle omstandigheden.

Het artikel suggereert dat rekenen-wiskunde niet in het algemene model past. Ik denk dat we moeten oppassen dat we reken-wiskunde niet als de uitzondering positioneren: er zijn heel veel vakken, zo niet alle vakken, die je niet vanuit één model kunt aanvliegen of kunt vangen in één model.

Uitleggen en voordoen is niet de juiste aanpak

De tweede trigger was handvat nummer 4. ‘Leg denkwerk bij de leerling’. Daar ben ik het volledig mee eens: ‘Memory is the residue of thought’ (Daniel Willingham). Het is ook niet voor niets dat we in wiskunde de wiskundige denkactiviteiten hebben toegevoegd aan het curriculum. Wellicht dat daar de schoen wringt: gaat wiskunde überhaupt niet om denken en zou dat niet het primaire doel moeten zijn: leerlingen laten te denken als een wiskundige?

Dan komt de zin: ‘Uitleggen en voordoen is bij rekenen-wiskunde niet de juiste aanpak’. Ofwel: ik doe al ruim 14 jaar iets wat niet de juiste aanpak is. Dat is even slikken en geeft gelijk verwarring omdat ik (voor zover ik dan nu kan inschatten) goede resultaten boek daarmee. En verwarring omdat ik vanuit onderwijsboeken die ik lees toch vaak vormen of afgeleiden van Rosenshine principles of instruction tegen kom. 

In de longread staat wat meer toelichting over het model van horizontaal en verticaal mathematiseren (schematiseren). Kort gezegd gaat het daarbij om het vertalen van een probleem in context naar een wiskundige probleem, vervolgens binnen de wiskunde dit probleem oplossen en de resultaten terug te vertalen naar de context en daar te valideren.

Als je hier meer over wilt lezen dan zijn de publicatie Redeneren en formuleren bij wiskunde vakken (SLO, rond bladzijde 18) en een eerder artikel van Koeno Gravemeijer op Volgens-Bartjens aan te bevelen. 

Vanuit deze schematisering kan ik plaatsen dat uitleggen en voordoen (of voordoen en uitleggen?) voornamelijk op het gebied van de vaardigheden en dus oplossen van het geïdentificeerde wiskundige probleem het effectiefst is, maar dat bij het vertalen van context naar wiskunde (en vice versa) er een andere aanpak ‘beter’ is. In mijn lessen doe ik dat door met leerlingen te kijken naar overeenkomsten & verschillen, naar specifieke kenmerken, aanpak, strategie etc. Ik besteed daar best wat aandacht aan, en dus stelt dat me wat geruster en geeft deze uitspraak mij wat perspectief.

Mogelijke doelen van wiskunde onderwijs

Om hierop nog verder te reageren merk ik dat het voor mezelf nodig is om stil te staan bij het doel van rekenen-wiskunde onderwijs. Ik zie zelf daarin verschillende lagen of verschillende doelen.

  • Om als burger goed mee te kunnen komen is een bepaalde mate van gecijferdheid nodig. Je moet om kunnen gaan met verschillende soorten verbanden, kunnen (hoofd)rekenen en een zeker getalbegrip hebben (deze opsomming is natuurlijk veel te kort en is niet uitputtend, maar gaat even over het algemene beeld).
  • Wat ons als mensen bijzonder maakt is dat we kunnen denken (t.o.v. andere levende wezens). Wij kunnen denken omdat we een taal hebben waarin we ons kunnen uitdrukken. Wiskunde is daarmee ook een taal waarmee je leert kijken naar de wereld. Je ontkomt er niet aan dat je de afgelopen twee jaar naar de ontwikkelingen op Covid hebt gekeken met verschillende brillen op: aardrijkskundig, biologisch, globalisering, economische gevolgen, maatschappelijke aspecten, de verspreiding en groei van de besmettingen. Iedere bril vraagt een andere taal, een ander vocabulair, kijkt naar andere oorzaken/gevolgen en verbanden, doen andersoortige uitspraken over voorspellingen en verwachtingen. Wiskunde leren is het leren van een taal, het leren van kijken naar verbanden, het zoeken naar patronen, het doen van voorspellingen, het verklaren van wat je ziet. Een doel van het leren van wiskunde is het ontwikkelen van een wiskunde taal om jezelf in uit te drukken en om met die bril te kunnen nadenken.
  • Bijna iedereen komt op een punt, binnen het leren van wiskunde, dat je worstelt. Je ziet niet gelijk de oplossing, je begrijpt een verband niet, je twijfelt over de aanpak die je nodig hebt. Bij wiskunde leer je daarom ook twee andere belangrijke persoonlijke aspecten
    • beginnen: misschien wat in het verlengde van doorzetten, maar deze zit nog een stap daarvoor. Ik merk dat veel leerlingen pas beginnen als ze de gehele aanpak (route naar het antwoord) overzien. Zien ze dat niet dan kunnen ze lang staren naar een stuk papier zonder dat er iets gebeurd. Wat ik mijn leerlingen leer is te kijken naar wat ze wel herkennen, wat ze wel al zouden kunnen doen, dat uit te voeren en dan opnieuw naar het geheel te kijken met de nieuwe informatie erbij. Ik leer ze schetsen maken, om tekst naar beeld te vertalen (de cognitieve load theory speelt hierin ook een rol, maar dat terzijde).
    • doorzetten: om een drempel over te komen leer je niet op te geven, leer je fouten te maken, leer je van je fouten te leren, leer je andere aanpakken te gebruiken, leer je hulp te vragen: kortom. Je ontwikkelt je doorzettingsvermogen.

Ergens aan beginnen en doorzetten zijn persoonlijke kwaliteiten, die een leerling niet alleen bij wiskunde leert, maar waar wiskunde wel een belangrijke bijdrage aan kan leveren, omdat het binnen dit vak praktisch iedere leerling overkomt.

  • Wiskundige kennis en vaardigheden die noodzakelijk zijn bij het voorbereiden of aanleren van een beroep: in veel beroepen zul je een bepaalde mate van inhoudelijke wiskunde moeten kennen en kunnen. Die mate hangt af van je gewenste beroep en het niveau waarop je dat beroep of studie wilt uitvoeren/volgen. In het VO hebben we daarom de taak je daar zo goed mogelijk op voor te bereiden. Waarbij ik nog wel wil opmerken dat slechts een heel beperkt deel van de leerlingen een wiskundige studie gaan doen. Daarmee zeg ik dat we goed moeten nadenken over welke wiskunde we willen en moeten aanbieden aan welke leerlingen: niet voor iedere leerling is verregaande inhoudelijke wiskundige kennis nodig.

Misschien zijn er nog wel meer doelen te noemen van rekenen-wiskunde onderwijs, maar tot deze wil ik me nu even beperken. Gravemeijer heeft gelijk als hij de conclusie trekt dat het huidige dominante idee is dat we we nu zwaar inzetten op beheersen van procedures en dientengevolge het onderwijs zo inrichten dat de route daar naartoe zo efficiënt mogelijk verloopt. En ik denk dat Gravemeijer ook gelijk heeft dat heel veel wiskunde docenten daar van balen, omdat we daarmee voornamelijk het laatstgenoemde doel (en misschien het eerste doel ook wel voor een deel) hierboven nastreven en we niet toekomen aan de andere doelen: het laten denken als een wiskundige en de persoonlijke ontwikkeling. Van de meest gangbare wiskundemethodes in Nederland herken ik dit zeker bij Getal & Ruimte en Kern. Moderne Wiskunde geeft wat meer aandacht aan verwondering en (gestuurd denkend) ontdekken. De Wageningse methode daarentegen gaat uit van de denkende leerling, maar mijn ervaring daarbij is voor de meeste leerlingen een brug te ver is en behoorlijke docentsturing vraagt. Misschien gaat deze methode wel al uit van een een bepaalde aanwezigheid van wiskundig denken bij de leerling.

Onderwijs wat zich vormt naar de afsluitende toets

Dat we met z’n allen op het spoor van de procedures zitten is niet gek. Als je kijkt naar hoe een leerling na een aantal jaar zijn wiskunde schoolcarrière afsluit dan toetsen we toch voornamelijk procedures. Recentelijk zijn de wiskundige denkactiviteiten daar aan toegevoegd. We trainen leerlingen om een examen te kunnen halen, want daar staat of valt de vervolgstap van de leerling mee. De andere doelen die we nastreven zijn misschien moeilijk te meten, te kwantificeren of daar een norm op te zetten (als we dat al zouden willen): dus nemen we dat niet mee in de eindbeoordeling. Want laten we wel wezen: voor hoeveel leerlingen gaat het berekenen van een oppervlakte onder een kromme, of het berekenen van een hoek tussen twee balkjes van een bankje een bepalende rol spelen voor zijn/haar toekomst? Terwijl dat wel het enige is wat we meten en waarop we een beslissing nemen.

Terug naar de trigger: ’Uitleggen en voordoen is … niet de juiste aanpak’. Wiskunde is voor mij bij uitstek een vak waarin ik veel modelleer, veel hardop denk, voordoe en samendoe met leerlingen. Misschien is het ook wel omgekeerd: ik doe iets voor en leg uit wat ik doen, waarom ik iets doe etc. Het modelleren doe ik niet alleen op de wiskundige procedures, maar ook op aanpak, strategie, en metacognitie bij leerlingen. Mensen leren van observeren, van nadoen en imiteren. En ja dat geeft niet altijd gelijk ook het inzicht en begrip. Maar als je eenmaal iets kunt, wordt het wel makkelijker om daarover na te denken. Als ik wil dat leerlingen leren nadenken over iets, dan pas ik een efficiënte methode toe om de vaardigheid aan te leren, zodat ik tijd maak om met leerlingen te gaan denken wat we daar mee kunnen. Dus uitleggen en voordoen hebben zeker een functie. Echter niet uitsluitend.
Als we willen dat rekenen-wiskunde meer is dan door de hoepel van het CE te kunnen springen, dan moeten we met elkaar zorgen dat we het rekenen-wiskunde onderwijs anders organiseren en ook anders afsluiten voor leerlingen.

De genoemde triggers neem ik waar (en dat is mijn interpretatie) als fixed. Het lijkt andere aanpakken of gedachten uit te sluiten. Daar zit mijn allergie denk ik op: we sluiten iets uit, oordelen (in)direct over wat de ander doet.

Als ik het onderwijs iets gun dan is het wel om het vakmanschap bij de docent te laten. Voorzie die vakman van allerlei instrumenten die hem/haar daarbij kunnen helpen, waarbij het fijn is als bij het instrument ook gezegd wordt in welke omstandigheden of onder welke condities dat instrument het beste toch zijn recht kan komen. Maar laten we stoppen met prediken hoe het moet:

“Everything works somewhere; nothing works everywhere” (Dylan Wiliam)

Tom Sherrington heeft in een interessante blog geschreven over wat het betekent om evidence informed te werken. Kort gezegd: wees bewust van wat onderzocht is, ken de grenzen en beperkingen daarvan, blijf altijd kritisch en stem je onderwijs af op de situatie, de groep en het onderwerp.

Werken / leren met uitgewerkte voorbeelden

Wie bekend is met Craig Barton, zal ongetwijfeld ook gelezen hebben over ´worked examples´. Niet alleen schrijft hij er over in zijn boek, ook op zijn online platform kun je er een module over volgen.

Pas bij het lezen van het boek van Michael Pershan, Teaching math with examples kreeg ik een wat completer beeld van de mogelijkheden om ´uitgewerkte voorbeelden´ in te zetten in mijn lessen.
In een eerdere blog heb ik een kleine kijk gegeven in dat boek en benoem ik wat ik daar destijds uit heb gehaald voor mezelf.

Dit schooljaar ben ik voornamelijk met de volgende twee varianten aan de slag geweest.

Vind de fout en verbeter

Bij de ´vind de fout en verbeter´ opdrachten krijgt de leerling een aantal uitgewerkte opgaven, waarbij in iedere opgave (minstens) één fout zit. De leerling moet de fout vinden en dan diezelfde opgave maken zonder de fout (vandaar: verbeter de fout). Om de fout te vinden moet een leerling echt de aandacht focussen op iedere opgeschreven stap. De fout kan (zeker bij wiskunde) niet alleen in de inhoud zitten, maar ook in de notatie van de opgeschreven stappen in de uitwerking, wat maakt dat de leerling eigenlijk vanuit twee perspectieven moet kijken naar de uitwerking.

Ervaring leert dat de meeste leerlingen voornamelijk en als eerste kijken naar de inhoud, de wiskunde. Pas als ze daar niks kunnen vinden gaan ze naar de notatie kijken. Leerlingen die al wat zekerder zijn op het onderwerp en die meestal al bewust goede berekeningen opschrijven, zien sneller de aanwezige notatie fouten. Door op deze manier naar uitwerkingen te kijken, leren alle leerlingen te kijken op verschillende dimensies.

Kijken = denken, en denken = leren.

Omdat in je ééntje denken vaak lastig is, en je blik beperkt wordt door je eigen kennis en ervaring, laat ik deze opdrachten zo veel mogelijk in tweetallen maken.


Belangrijk is ook om altijd af te ronden met de juiste uitwerkingen. Dat kan door die uit te delen en ze zelf te laten kijken, maar dat kan ook door er een paar uit te halen waarvan je bij het rondlopen hebt gezien waar de meesten moeite mee hebben. Zelf nakijken en teruggeven kan ook, maar dat geeft jou werk en het ontneemt ook een extra leergelegenheid voor de leerling, of de mooie ontdekking van de leerling zelf dat ze hun succes zien.

Achterwaarts vervagen

In de Engelstalige literatuur spreekt men over backwards fading. Daar zijn een aantal interessante blogs over geschreven: hier in een blog van Tom Needham, hier een pagina van Craig Barton over worked examples en er is ook een doorloopje waarin dit terug komt.

Bij het achterwaarts vervagen geef je de leerlingen een volledig uitgewerkte voorbeeld als voorbeeld. Bij de vervolgopgave laat je de laatste stap weg, die moet de leerling dan aanvullen. En dat herhaal je bij de volgende opgaven: steeds laatst gegeven stap laat je weg tot de leerling de gehele uitwerking zelf moet maken. Je zou ook kunnen kiezen voor een aantal opgaven waarin steeds dezelfde stap ontbreekt, voordat je door gaat naar het weglaten van twee stappen, enzovoorts.

In het voorbeeld hierboven heb ik gelijk de laatste twee stappen weggelaten. Dat is een beetje tegenstrijdig aan wat ik erboven schreef. Het was een afweging vanwege de beschikbare ruimte op het blad en het kon ook omdat de laatste twee stappen uiteindelijk toch vaak in één regel opschreven gaan worden als de leerling wat verder in het leerproces is. Sterker nog, op het tweede blad van deze opdracht deden een aantal leerlingen dat gelijk al en hielden ze een lege regel over.

In mijn 2 havo klas heb ik dit jaar, veel meer dan voorheen, leerlingen die echt de stappen van de berekening ook tijdens het maken van hun (huis)werk al goed aan het opschrijven zijn, in nette stappen onder elkaar en die ook steeds een regel beginnen met het WAT ze gaan uitrekenen (de BC² en de BC in het voorbeeld hierboven). Doordat ze de stappen zo netjes opschrijven worden er ook veel minder fouten gemaakt in het berekenen van een rechthoekszijde (wiskundedocenten zullen direct begrijpen wat ik bedoel).

Een paar voorbeelden waarbij je met uitgewerkte voorbeelden de aandacht van de leerling kunt richten. Op deze manier is het mijn leerlingen gelukt om veel gemaakte fouten te leren herkennen en daarop ook te acteren. Ook als ze daarna hun eigen werk aan het nakijken zijn, herinneren ze zich een gemaakte fout in één van de voorbeelden. Super mooi om te zien gebeuren.
De opdracht van achterwaarts vervagen was voor een leerling die was blijven zitten (en niet op dit specifieke onderwerp van wiskunde) wel vervelend. Dat verklaar ik door de expert die anders denkt dan de beginner en die geremd of belemmerd kan worden door een aanpak voor een beginner: het expertise reversal effect. Hier heeft Tom Needham ook een uitgebreide blog aan gewijd.

Al met al ben ik tevreden met de opbrengsten en hier ga ik in de loop van het jaar zeker nog een aantal werkbladen van maken samen met mijn collega´s.